Questão 2 (9 pontos-1,5). Calcule a integral indefinida em cada item a seguir.
\int e^{7 \cos (x)-4} \operatorname{sen}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int e^{7\cos(x)-4}\,\operatorname{sen}(x)\,dx.
Aqui vamos usar o método de substituição (u-substituição), pois percebemos que a derivada de \cos(x) é proporcional a \operatorname{sen}(x).

Passo 2

Definimos a substituição
u = 7\cos(x) - 4.
Então, derivando em relação a x, obtemos
du = -7\,\operatorname{sen}(x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sen}(x)\,dx = -\frac{1}{7}\,du.

Passo 3

Fazendo a troca na integral original, temos
\int e^{7\cos(x)-4}\,\operatorname{sen}(x)\,dx = \int e^{u}\,\Bigl(-\frac{1}{7}\,du\Bigr) = -\frac{1}{7}\int e^{u}\,du.

Passo 4

A integral de e^{u} em relação a u é e^{u}. Logo,
-\frac{1}{7}\int e^{u}\,du = -\frac{1}{7}\,e^{u} + C.
Voltando à variável x, substituímos u = 7\cos(x)-4:

Resposta

-\frac{1}{7}e^{7\cos(x)-4} + C.

Exercícios relacionados