Questão 2 (9 pontos-1,5). Calcule a integral indefinida em cada item a seguir.
\int \cos (5 x) \cos (3 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \cos(5x)\,\cos(3x)\,dx.
O conteúdo envolvido é técnica de integração de produto de funções trigonométricas, e vamos precisar usar a identidade de produto-para-soma para cossenos.

Passo 2

Usamos a fórmula
\cos(A)\,\cos(B)=\tfrac12\bigl[\cos(A-B)+\cos(A+B)\bigr].
Tomando A=5x e B=3x, obtemos
\cos(5x)\cos(3x) =\tfrac12\bigl[\cos(5x-3x)+\cos(5x+3x)\bigr] =\tfrac12\bigl[\cos(2x)+\cos(8x)\bigr].

Passo 3

Substituindo na integral e integrando termo a termo, temos
\int \cos(5x)\cos(3x)\,dx =\tfrac12\int \cos(2x)\,dx + \tfrac12\int \cos(8x)\,dx.
Como
\int \cos(2x)\,dx = \tfrac{1}{2}\sin(2x), \qquad \int \cos(8x)\,dx = \tfrac{1}{8}\sin(8x),
segue
\int \cos(5x)\cos(3x)\,dx =\tfrac12\Bigl(\tfrac12\sin(2x)\Bigr) +\tfrac12\Bigl(\tfrac18\sin(8x)\Bigr)+C.

Passo 4

Basta simplificar os coeficientes:
\tfrac12\cdot\tfrac12=\tfrac14, \qquad \tfrac12\cdot\tfrac18=\tfrac{1}{16}.
Logo a primitiva é
\frac{1}{4}\sin(2x)+\frac{1}{16}\sin(8x)+C.

Resposta

\int \cos(5x)\cos(3x)\,dx =\frac{1}{4}\sin(2x)+\frac{1}{16}\sin(8x)+C.

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