Questão 2 (9 pontos-1,5). Calcule a integral indefinida em cada item a seguir.
\int \frac{5 x+2}{x^{2}-6 x+8} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{5x+2}{x^{2}-6x+8}\,dx.
O conteúdo aqui é integração de funções racionais usando decomposição em frações parciais. Vamos precisar fatorar o denominador e expressar a função como soma de termos simples.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
x^{2}-6x+8 = (x-2)(x-4).

Passo 3

Assumimos a forma da decomposição parcial:
\frac{5x+2}{(x-2)(x-4)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-4}.
Multiplicando ambos os lados por (x-2)(x-4), obtemos
5x + 2 = A(x-4) + B(x-2).

Passo 4

Expandindo e agrupando em x:
A(x-4) + B(x-2) = (A+B)\,x + (-4A - 2B).
Portanto, igualando coeficientes de x e termo constante, temos o sistema
\begin{cases} A + B = 5,\\\\ -4A - 2B = 2. \end{cases}

Passo 5

Resolvendo o sistema: de A+B=5 vem B=5-A. Substituindo em -4A-2B=2:
-4A - 2(5-A) = 2 \quad\Longrightarrow\quad -4A -10 +2A = 2 \quad\Longrightarrow\quad -2A = 12 \quad\Longrightarrow\quad A = -6,
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B = 5 - (-6) = 11.

Passo 6

Substituindo A e B na integral, temos
\int \frac{5x+2}{(x-2)(x-4)}\,dx = \int \Bigl(\frac{-6}{x-2} + \frac{11}{x-4}\Bigr)\,dx = -6\int \frac{1}{x-2}\,dx + 11\int \frac{1}{x-4}\,dx.

Passo 7

Integramos cada termo usando \int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln\lvert x-a\rvert:
-6\ln\lvert x-2\rvert + 11\ln\lvert x-4\rvert + C.

Resposta

-6\ln\lvert x-2\rvert + 11\ln\lvert x-4\rvert + C.

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