4^ a Questão (3 pontos): Calcule os limites
lim x 2 2-raiz5 x-12 x^2-9 x+10

Passo 1

O exercício pede para calcular o limite \r
limxto22-raiz5x-12x^2-9x+10 \r
O conteúdo envolve identificação de forma indeterminada e estudo do sinal do numerador e do denominador para ver se o limite é finito ou diverge para infinito.

Passo 2

Substituindo diretamente x=2, o numerador fica \r
2-raiz5cdot2-1=2-raiz9=2-3=-1neq0, \r
enquanto o denominador é \r
2cdot2^2-9cdot2+10=8-18+10=0 \r
Como obtemos tfrac-10, não é caso de 0/0 mas de constante,/0, o que sugere limite infinito. Para analisar melhor, fatoramos \r
2x^2-9x+10=(2x-5)(x-2)

Passo 3

Perto de x=2, o fator 2x-5 vale \r
2cdot2-5=-1, \r
logo \r
2x^2-9x+10=(2x-5)(x-2)approx -1cdot(x-2)=-,(x-2) \r
O numerador 2-raiz5x-1 é sempre negativo em torno de x=2 (pois fica próximo de -1). Assim:\r
  • Para xto2^-, temos x-2<0 ⇒ denomínio -,(x-2)>0 ⇒ fracção tfracnegativopositivoto -infty.\r
  • Para xto2^+, temos x-2>0 ⇒ denomínio -,(x-2)<0 ⇒ fracção tfracnegativonegativoto +infty.

Resposta

O limite não existe no sentido usual. \r
limxto2^-2-raiz5x-12x^2-9x+10=-infty, limxto2^+2-raiz5x-12x^2-9x+10=+infty

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