Reparametrize a curva J(t)=(e^t, e^t sen(t), e^t cos (t)) pelo comprimento de arco a partir do vetor (1,0,1).
R: J(s)=(s+raiz3raiz3, s+raiz3raiz3 sen(s+raiz3raiz3), s+raiz3raiz3 cos (s+raiz3raiz3))

Passo 1

Temos a curva
J(t)=l(e^t,,e^tsin t,,e^tcos tr)
e sabemos que em t=0 ela parte de J(0)=(1,0,1). Queremos reparametrizar por comprimento de arco s, isto é, encontrar s(t)=integral0^t|J'(u)|,du, inverter para t(s) e escrever J em função de s.

Passo 2

Calculemos a derivada
J'(t)=l(e^t,,e^tcos t+e^tsin t,,e^tcos t - e^tsin tr) =e^tl(1,,sin t+cos t,,cos t-sin tr)
O módulo é
|J'(t)| =raize^2tl[1+(sin t+cos t)^2+(cos t-sin t)^2r] =raize^2tcdot 3 =raiz3,e^t

Passo 3

O comprimento de arco desde 0 até t é
s(t)=integral0^t|J'(u)|,du =integral0^traiz3,e^u,du =raiz3l(e^t-1r)

Passo 4

Invertendo essa relação, obtemos
e^t=1+sraiz3 Longrightarrow t=ln!l(1+tfracsraiz3r)

Passo 5

Basta substituir t(s) em J(t). Como e^t=1+tfracsraiz3, fica
J(s) =l(1+tfracsraiz3,;l(1+tfracsraiz3r)sin!l(ln(1+tfracsraiz3)r),;l(1+tfracsraiz3r)cos!l(ln(1+tfracsraiz3)r)r)

Resposta

J(s) =l(1+tfracsraiz3,;l(1+tfracsraiz3r)sin!l(ln(1+tfracsraiz3)r),;l(1+tfracsraiz3r)cos!l(ln(1+tfracsraiz3)r)r), s>=0

Exercícios relacionados