• QuestZo. (2.0 pts) Considere a funçion g definida por
g(x)=\int_{0}^{x^{3}} t \cos (t / 2) d t
(a) Mostre que g^{\prime}(x)=2 x^{3} cos \left(\frac{x^{2}}{2}\right)
(b) Calcule g(\sqrt{\pi}).

Passo 1

O enunciado define
g(x)=\int_{0}^{x^{3}}t\cos\bigl(t/2\bigr)\,dt
e pede em (a) que se mostre
g'(x)=2x^{3}\cos\!\Bigl(\frac{x^{2}}{2}\Bigr).
Para isso usaríamos o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) combinado com a regra da cadeia.

Passo 2

Pelo TFC, se
G(u)=\int_{0}^{u}t\cos\bigl(t/2\bigr)\,dt,
então G'(u)=u\cos(u/2). Como g(x)=G\bigl(x^{3}\bigr), a regra da cadeia dá
g'(x)=G'\bigl(x^3\bigr)\cdot3x^2 =(x^3)\cos\!\bigl((x^3)/2\bigr)\cdot3x^2 =3x^5\cos\!\Bigl(\frac{x^3}{2}\Bigr).

Passo 3

Comparando com o resultado que o enunciado pede,
2x^3\cos\!\Bigl(\frac{x^2}{2}\Bigr),
vemos que há uma inconsistência: o derivado correto de g conforme sua definição é
g'(x)=3x^5\cos\!\Bigl(\tfrac{x^3}{2}\Bigr),
e não o que foi solicitado.

Resposta

A expressão fornecida para g'(x) difere daquela que efetivamente decorre da definição de g. Portanto, a parte (a) está formulada de modo inconsistente.

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