Questão 2 (3 pontos). Calcule o que é pedido em cada item

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = l(x + x^-1r)^3
e pede a segunda derivada tfracd^2fdx^2. Vamos usar a regra da cadeia para obter f' e depois derivar de novo para achar f''.

Passo 2

Seja u = x + x^-1. Então f(x)=u^3 e pela regra da cadeia
f'(x) = 3,u^2;dudx
Como
dudx = 1 - x^-2,
temos
f'(x) = 3,(x + x^-1)^2;(1 - x^-2)

Passo 3

Para simplificar, note que
(x + x^-1)^2 = x^2 + 2 + x^-2 e 1 - x^-2 = x^2 - 1x^2
Multiplicando:
(x^2 + 2 + x^-2),(x^2 - 1) = x^4 + x^2 - 1 - x^-2,
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f'(x) = 3,x^4 + x^2 - 1 - x^-2x^2 = 3l(x^2 + 1 - x^-2 - x^-4r)

Passo 4

Agora derivamos termo a termo:
f'(x) = 3x^2 + 3 - 3x^-2 - 3x^-4
Então
f''(x) = ddxl(3x^2r) + ddx(3) - ddxl(3x^-2r) - ddxl(3x^-4r)
Isso dá
f''(x) = 6x + 0 + 6x^-3 + 12x^-5

Passo 5

Fatorando 6, obtemos
f''(x) = 6l(x + x^-3 + 2,x^-5r)

Resposta

d^2fdx^2 = 6l(x + x^-3 + 2,x^-5r)

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