5^2 Questão ( 2 , 0 pontos) - Calcule ou prove que não existe os seguintes limites
(a) lim (x, y) (1,1) (x-1)^22(y-1)^2+2(x-1)^2

Passo 1

O enunciado pede o limite
lim(x,y)to(1,1) (x-1)^22(y-1)^2+2(x-1)^2
Este é um limite de função de duas variáveis. Para verificar se ele existe, vamos calcular o valor nos aproximando de (1,1) por diferentes trajetórias.

Passo 2

Definindo
De<a x = x-1 e De<a y = y-1, reescrevemos a função como
f(De<a x,De<a y) =De<a x^22l(De<a y^2+De<a x^2r)

Passo 3

Considere o caminho De<a y=0. Neste caso De<a xto0 e
f(De<a x,0) =De<a x^22(,0+De<a x^2) =De<a x^22De<a x^2 =12

Passo 4

Agora considere o caminho De<a y=De<a x. Então De<a xto0 e
f(De<a x,De<a x) =De<a x^22l(De<a x^2+De<a x^2r) =De<a x^22cdot2De<a x^2 =14

Passo 5

Vemos que ao longo de De<a y=0 o valor tende a tfrac12 e ao longo de De<a y=De<a x tende a tfrac14. Como esses resultados são diferentes, o limite não pode ser único.

Resposta

O limite não existe.

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