Resolva, utilizando autovalores e autovetores, os seguintes sistemas de equações diferenciais de primeira ordem:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema
usando autovalores e autovetores. Isso é um sistema linear da forma
, com
Passo 2
Calculamos o polinômio característico de
:
Logo,
Passo 3
Encontramos os autovetores para
resolvendo
:
Tomando
, um autovetor é
A multiplicidade geométrica é
(apenas um autovetor independente).
Passo 4
Como a multiplicidade algébrica é
e a geométrica é
, precisamos de um autovetor generalizado
satisfazendo
Escrevendo
, temos
que dá
(a mesma equação repete), escolhemos
e
. Assim
Passo 5
Para um bloco de Jordan de ordem
com
, a solução geral é
Substituindo os vetores:
Resposta
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.