Resolva, utilizando autovalores e autovetores, os seguintes sistemas de equações diferenciais de primeira ordem:
\left\{\begin{array}{l}x_{1}{ }^{\prime}(t)=3 x_{1}(t)-4 x_{2}(t) \\\ x_{2}{ }^{\prime}(t)=x_{1}(t)-x_{2}(t)\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} x_{1}'(t)=3\,x_{1}(t)-4\,x_{2}(t),\\\ x_{2}'(t)=x_{1}(t)-x_{2}(t), \end{cases}
usando autovalores e autovetores. Isso é um sistema linear da forma \mathbf{x}'=A\mathbf{x}, com
A=\begin{pmatrix}3 & -4\\[6pt]1 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix}3-\lambda & -4\\[3pt]1 & -1-\lambda\end{pmatrix} =(3-\lambda)(-1-\lambda)-(-4)\cdot1 =\lambda^{2}-2\lambda+1.
Logo,
\lambda^{2}-2\lambda+1=(\lambda-1)^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=1\text{ (multiplicidade 2).}]

Passo 3

Encontramos os autovetores para \lambda=1 resolvendo (A-I)v=0:
(A-I)=\begin{pmatrix}2 & -4\\\ 1 & -2\end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix}2 & -4\\\ 1 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_{1}\v_{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix} \;\Rightarrow\; v_{1}=2\,v_{2}.
Tomando v_{2}=1, um autovetor é
v^{(1)}=\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}.
A multiplicidade geométrica é 1 (apenas um autovetor independente).

Passo 4

Como a multiplicidade algébrica é 2 e a geométrica é 1, precisamos de um autovetor generalizado v^{(2)} satisfazendo
(A-I)\,v^{(2)}=v^{(1)}.
Escrevendo v^{(2)}=(a,b)^{T}, temos
\begin{pmatrix}2 & -4\\\ 1 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\b\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix},
que dá 2a-4b=2 (a mesma equação repete), escolhemos b=0 e a=1. Assim
v^{(2)}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 5

Para um bloco de Jordan de ordem 2 com \lambda=1, a solução geral é
\mathbf{x}(t) =C_{1}\,e^{t}\,v^{(1)} + C_{2}\Bigl(e^{t}\,v^{(2)}+t\,e^{t}\,v^{(1)}\Bigr).
Substituindo os vetores:
\mathbf{x}(t) =C_{1}\,e^{t} \begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix} + C_{2}\!\Bigl( e^{t} \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} + t\,e^{t} \begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix} \Bigr).

Resposta

\boxed{ \mathbf{x}(t) = C_{1}\,e^{t} \begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix} + C_{2}\!\Bigl( e^{t} \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} + t\,e^{t} \begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix} \Bigr), }
onde C_{1} e C_{2} são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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