Questão 1 (2.5 pontos) Calcule a seguinte Integral indefinida:
integral sen(x) raiz1-cos (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral indefinida de sin(x) raiz1 - cos(x) em relação a x. Isso está na área de Cálculo Integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas e técnicas de substituição. Para resolver, vamos precisar usar a substituição adequada para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz. Observamos que temos 1 - cos(x), então uma boa ideia é definir uma nova variável. Vamos deixar u = cos(x).

Passo 3

Com u = cos(x), precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir o dx na integral. A derivada de cos(x) é - sin(x), ou seja, du = -sin(x) dx. Isso significa que sin(x) dx = -du.

Passo 4

Agora, substituímos tudo na integral original usando u:
integral sin(x) raiz1 - cos(x) dx = integral raiz1 - u cdot (-du) = -integral raiz1 - u , du

Passo 5

Vamos simplificar a integral resultante. A integral de raiz1 - u em relação a u é uma potência que podemos integrar usando a regra de potências. Lembre-se que raiz1 - u = (1 - u)^1/2.

Passo 6

Integrando (1 - u)^1/2:
-integral (1 - u)^1/2 du = -cdot 23 (1 - u)^3/2 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, voltamos para a variável original x substituindo u = cos(x):
- 23 (1 - cos(x))^3/2 + C

Resposta

A integral indefinida é igual a:
- 23 (1 - cos(x))^32 + C

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