Questão 3. (3,0 pontos) Calcule o valor de cada limite, se ele existir, justificando a sua resposta.
Passo 1
Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado o limite
onde
e
são constantes (números reais).
- O que se pede: calcular esse limite e justificar a resposta.
Passo 2
Entender o comportamento da expressão dominante quando
.
Defina
Para
vale
, portanto
Assim, quando
temos
. Em palavras: a raiz cresce sem limite quando
cresce.
Passo 3
Técnica usada: dividir numerador e denominador pelo termo que cresce mais (aqui
) para enxergar o comportamento das frações.
Como
para todo
, podemos dividir numerador e denominador por
:
Passo 4
Analisar os limites das parcelas
e
.
Como
e
são constantes e
quando
, vale
Portanto, aplicando limite na expressão do passo anterior e usando a continuidade das operações aritméticas (soma, subtração, quociente quando o denominador tende a um número diferente de zero), obtemos
Passo 5
Observação alternativa (opcional, para treinar): se quiser, pode também racionalizar multiplicando numerador e denominador pelo conjugado
ou
e obter o mesmo resultado por manipulação algébrica; o caminho mais direto é o que usamos acima (dividir por
).
Resposta
1