Questão 3. (3,0 pontos) Calcule o valor de cada limite, se ele existir, justificando a sua resposta.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x^{2}+g^{2}}-p}{\sqrt{x^{2}+g^{2}}-g}

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+g^{2}}-p}{\sqrt{x^{2}+g^{2}}-g},
onde p e g são constantes (números reais).
  • O que se pede: calcular esse limite e justificar a resposta.

Passo 2

Entender o comportamento da expressão dominante quando x\to\infty.
Defina
S(x)=\sqrt{x^{2}+g^{2}}.
Para x\ge 0 vale \sqrt{x^{2}}=x, portanto
S(x)=\sqrt{x^{2}+g^{2}}\ge\sqrt{x^{2}}=x.
Assim, quando x\to\infty temos S(x)\to\infty. Em palavras: a raiz cresce sem limite quando x cresce.

Passo 3

Técnica usada: dividir numerador e denominador pelo termo que cresce mais (aqui S(x)) para enxergar o comportamento das frações.
Como S(x)>0 para todo x, podemos dividir numerador e denominador por S(x):
\frac{S(x)-p}{S(x)-g}=\frac{\dfrac{S(x)}{S(x)}-\dfrac{p}{S(x)}}{\dfrac{S(x)}{S(x)}-\dfrac{g}{S(x)}} =\frac{1-\dfrac{p}{S(x)}}{1-\dfrac{g}{S(x)}}.

Passo 4

Analisar os limites das parcelas \dfrac{p}{S(x)} e \dfrac{g}{S(x)}.
Como p e g são constantes e S(x)\to\infty quando x\to\infty, vale
\lim_{x\to\infty}\frac{p}{S(x)}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to\infty}\frac{g}{S(x)}=0.
Portanto, aplicando limite na expressão do passo anterior e usando a continuidade das operações aritméticas (soma, subtração, quociente quando o denominador tende a um número diferente de zero), obtemos
\lim_{x\to\infty}\frac{S(x)-p}{S(x)-g} =\frac{1-0}{1-0}=1.

Passo 5

Observação alternativa (opcional, para treinar): se quiser, pode também racionalizar multiplicando numerador e denominador pelo conjugado S(x)+p ou S(x)+g e obter o mesmo resultado por manipulação algébrica; o caminho mais direto é o que usamos acima (dividir por S(x)).

Resposta

1

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