QUESTĀO 2: (2,5 pontos) A capacidade de um processo está associada à habilidade desse processo em fabricar produtos de acordo com as especificaçōes definidas no projeto. Suponha, entăo, que no processamento de uma peça (por exemplo, a tampa de uma lata de leite), a variável de interesse, diâmetro da lata, foi projetada para atender a especificação de [8 ; 12] \mathrm{cm}. Durante a inspeçāo, caso a diâmetro esteja acima do limite superior de especificação, a tampa será retrabalhada; caso o diâmetro esteja abaixo do limite inferior de especificaçăo, a peça será refugada; estando dentro dos limites de especificação a tampa será aprovada. Considerando que o diâmetro da tampa seja normalmente distribuído com média 11 cm e desvio-padrăo 0,5 \mathrm{~cm} :
a) Determine a probabilidade de a peça ser refugada; e a probabilidade dela ser retrabalhada; (1 ponto)
b) Determine o menor diàmetro correspondente às 5 \% maiores tampas; ( 0,5 ponto)
c) Para cada tampa retrabalhada o custo (fabricação da primeira vez mais retrabalho) associado é de 4 RS, refugada (fabricaçăo mais refugo) é de 3 RS e o custo de fabricação de uma tampa perfeita é de RS 2 . Determine o custo médio esperado por tampa. (1 ponto)

Passo 1

O enunciado descreve um processo em que a variável de interesse é o diâmetro X de uma tampa, com X\sim N(\mu=11\rm\\ cm,\sigma=0{,}5\rm\\ cm). A especificação de projeto é o intervalo [8,12]\rm\\ cm. Se X<8 a peça é refugiada, se X>12 é retrabalhada e se 8\le X\le12 é aprovada. Para resolver usamos:
  1. Técnicas de probabilidade para distribuição normal (transformação em Z).
  2. Tabelas ou software para valores de \Phi(z)=P(Z\le z).
  3. Definição de quantil (percentil).
  4. Cálculo de valor esperado de custo via E[C]=\sum_i C_iP_i.

Passo 2

(a) Probabilidade de refugo \,P(X<8)\, e de retrabalho \,P(X>12).
Transformamos para a variável padrão Z\sim N(0,1):
z_{\rm refugo}=\frac{8-11}{0{,}5}=-6,\quad z_{\rm retrab}=\frac{12-11}{0{,}5}=2.
Logo
P(X<8)=P\bigl(Z<-6\bigr)=\Phi(-6)\approx9{,}9\times10^{-10},
P(X>12)=P\bigl(Z>2\bigr)=1-\Phi(2)\approx1-0{,}97725=0{,}02275.

Passo 3

(b) Menor diâmetro que corresponde às 5 % maiores tampas, isto é, o 95.º percentil de X.
Seja x_{0} tal que P(X>x_{0})=0{,}05, então P(X\le x_{0})=0{,}95 e o quantil padrão é z_{0,95}\approx1{,}645.
x_{0}=\mu+z_{0,95}\,\sigma =11+1{,}645\times0{,}5=11+0{,}8225=11{,}8225\rm\\ cm.

Passo 4

(c) Custo médio por tampa:
  • Refugada: custo 3,R$ com probabilidade P(X<8).
  • Retrabalhada: custo 4,R$ com probabilidade P(X>12).
  • Aprovada: custo 2,R$ com probabilidade 1-P(X<8)-P(X>12).
    Logo
E[C] =3\,P(X<8)+4\,P(X>12)+2\bigl[1-P(X<8)-P(X>12)\bigr].
Substituindo os valores:
E[C] \approx3\,(9{,}9\times10^{-10})+4\,(0{,}02275) +2\,(1-0{,}02275-9{,}9\times10^{-10}) \approx0+0{,}091\!+1{,}9545 =2{,}0455\rm\\ R\$.

Resposta

(a) P(\text{refugo})\approx9{,}9\times10^{-10},\quad P(\text{retrabalho})\approx0{,}02275.
(b) x_{0,95}\approx11{,}8225\rm\\ cm.
(c) E[C]\approx2{,}0455\rm\\ R\$.

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