QUESTÃO 3: (4 Pontos) Uma seguradora realizou um estudo sobre a expectativa de vida dos habitantes de uma determinada cidade e verificou que o tempo médio de vida é de 65 anos, desvio padralo de 6 anos, com o tempo seguindo distribuiçălo normal.
a) Se forem escolhidas 200 amostras de habitantes dessa cidade, ao acaso, com cada uma delas contendo 36 pessoas, em quantas amostras pode-se esperar que a duração média de vida seja de no minimo 66 anos?
b) Vamos considerar que houve um programa de melhoria da qualidade de vida da população. No sentido de se testar a eficiência do programa tomou-se uma amostra de 16 habitantes (logicamente após passado um tempo relativamente grande de anos) e obteve-se uma média de 68 anos com desvio-padrăo de 4 anos:
b. 1 Através de um teste de hipótese, verifique se o programa foi eficiente para um nivel de significância de 5 \%;
b. 2 Interprete os Erros Tipo I e Erros Tipo II, no contexto do problema;
b. 3 Determine um intervalo com 95 \% de confiança para o tempo médio de vida da populaçâo, após o programa.

Passo 1

O enunciado trata de duas situações envolvendo a distribuição normal do tempo de vida. Primeiro (item a) temos uma população com média \mu=65 anos e desvio-padrão \sigma=6 anos, de onde se extraem 200 amostras independentes de tamanho n=36, e queremos saber em quantas dessas amostras a média será pelo menos 66 anos. Depois (item b) avaliamos, após um programa de melhoria, uma única amostra de n=16 habitantes com média amostral \overline{x}=68 anos e desvio-padrão amostral s=4 anos, e precisamos:
• b.1 realizar um teste de hipótese a 5\%,
• b.2 interpretar erros tipo I e tipo II no contexto,
• b.3 construir intervalo de confiança de 95\% para a média verdadeira.

Passo 2

Para o item a, pela Teoria do Limite Central o desvio-padrão da média amostral é
\sigma_{\overline{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{6}{\sqrt{36}}=1.
Assim
P\bigl(\overline{X}\ge 66\bigr) =1-\Phi\biggl(\frac{66-65}{1}\biggr) =1-\Phi(1)\approx1-0{,}8413=0{,}1587.
Em 200 amostras espera-se cerca de
200\times0{,}1587\approx31{,}74\approx32
amostras com média de pelo menos 66 anos.

Passo 3

Para b.1, formulamos
H_0\colon\mu=65 \quad\text{vs.}\quad H_1\colon\mu>65
e usamos o teste t de Student com n-1=15 graus de liberdade. O estatístico é
t=\frac{\overline{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}} =\frac{68-65}{4/\sqrt{16}} =\frac{3}{1}=3.
O valor crítico para \alpha=0{,}05 (uma cauda) e 15 gl é t_{0{,}95,15}\approx1{,}753. Como 3>1{,}753, rejeitamos H_0 e concluímos que o programa foi eficiente a 5\%.

Passo 4

Para b.2, no contexto:
Tipo I \alpha=5\% é rejeitar H_0 quando na verdade o programa não é eficaz (erro de afirmar eficácia indevidamente).
Tipo II \beta é não rejeitar H_0 quando o programa é eficaz (erro de não reconhecer uma melhora real).

Passo 5

Para b.3, o intervalo de confiança de 95\% para \mu usa o mesmo t_{0{,}975,15}\approx2{,}131:
\overline{x}\pm t_{0{,}975,15}\frac{s}{\sqrt{n}} =68\pm2{,}131\cdot\frac{4}{\sqrt{16}} =68\pm2{,}131\cdot1
\Longrightarrow (65{,}87;\;70{,}13).

Resposta

a) Aproximadamente 32 amostras.
b.1) Rejeita H_0 t=3>1{,}753, indicando eficiência do programa a 5\%.
b.2) Erro tipo I: afirmar que o programa é eficaz quando não é. Erro tipo II: não reconhecer a eficácia quando ela existe.
b.3) Intervalo de 95\%: (65{,}87,\;70{,}13).

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