QUESTÃO 4: (2 Pontos) Seja \left.X \sim N\left(\mu ; \sigma^{2}\right)\right]. Supondo \mu desconhecido, \sigma^{2} conhecido e com base em uma amostra de tamanho n , deduza um intervalo \mathrm{com}(1-\alpha) \times 100 de confiança para \mu. (Defina as estatisticas amostrais necessárias para deduzir o intervalo).

Passo 1

O enunciado trata de uma variável aleatória X\sim N(\mu,\sigma^2) com \mu desconhecido e \sigma^2 conhecido. A partir de uma amostra de tamanho n, queremos um intervalo de confiança de nível (1-\alpha)\times 100\% para \mu. Vamos precisar da média amostral e da distribuição normal padrão para construir o pivô.

Passo 2

Definimos a estatística amostral \displaystyle \bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i,
onde X_1,\dots,X_n é a amostra. Pelo Teorema da soma de normais, \displaystyle \bar{X}\sim N\Bigl(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\Bigr).

Passo 3

Construímos o pivô que é uma normal padrão:
Z \;=\;\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \;\sim\;N(0,1).

Passo 4

Usando a simetria da normal padrão, temos
P\bigl(-z_{\alpha/2}\le Z\le z_{\alpha/2}\bigr)=1-\alpha,
onde \displaystyle z_{\alpha/2} satisfaz P(Z>z_{\alpha/2})=\alpha/2.

Passo 5

Voltando para \mu, a desigualdade acima vira
P\Bigl(\bar{X}-z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\;\le\;\mu\;\le\;\bar{X}+z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\Bigr)=1-\alpha.

Resposta

Um intervalo de confiança de (1-\alpha)\times100\% para \mu é
\boxed{\bar{X}\pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.}

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