Questão 2 ( 2 pontos) - A uma determinada distância, um atleta de arco e flexa tem probabilidade de 40 \% de acertar no alvo (“mosca”). Admitindo que os tiros com o arco são independentes entre si, calcular:
a) o número esperado de tentativas até ele acertar no alvo
b) a probabilidade de que o primeiro tiro bem-sucedido ocorra na quinta tentativa
c) dado que ele acertou o alvo na quinta tentativa, qual a probabilidade de ele acertar o alvo no sétimo tiro

Passo 1

O enunciado descreve tiros independentes com probabilidade de acerto p=0,4. Estamos no contexto da distribuição geométrica (número de tentativas até o primeiro sucesso). Precisamos calcular:
– (a) a esperança E(X);
– (b) P(X=5), a probabilidade do primeiro sucesso na quinta tentativa;
– (c) dado que houve acerto no 5º tiro, a probabilidade de acerto no 7º tiro.

Passo 2

Para a distribuição geométrica com parâmetro p, a esperança do número de tentativas até o primeiro sucesso é
E(X)=\frac{1}{p}.
Como p=0,4,
E(X)=\frac{1}{0,4}=2,5.

Passo 3

A probabilidade de o primeiro sucesso ocorrer exatamente na tentativa k é
P(X=k)=(1-p)^{\,k-1}\,p.
Substituindo k=5 e p=0,4,
P(X=5)=(0,6)^4\cdot0,4=(0,6)^4\times0,4\approx0,1296\times0,4=0,05184.

Passo 4

Para a parte (c), como os tiros são independentes, o evento “acerto no 7º tiro” não depende do que ocorreu no 5º. Assim,
P(\text{acerta no 7º}\mid \text{acertou no 5º})=P(\text{acerta no 7º})=p=0,4.ººº

Resposta

(a) 2,5
(b) (0,6)^4\cdot0,4\approx0,05184
(c) 0,4

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