Questão 2. (1,5 pontos) Considere atentamente as afirmações a seguir.
i. Se
é contínua, então o gráfico de
intercepta a diagonal do plano cartesiano.
ii.
para todo
, com
.
iii. Se
e
, então
.
A seguir, marque com
a sentença que expressa o julgamento correto referente aos itens i, ii e iii:
O único item verdadeiro é iii.
i. Se
ii.
iii. Se
A seguir, marque com
O único item verdadeiro é iii.
Passo 1
O problema pede para analisar três afirmações sobre continuidade e limites e decidir quais são verdadeiras: fixação de pontos em funções contínuas, comportamento de
em assíntotas verticais e produto de funções que divergem em sinais opostos.
Passo 2
Para o item i, definimos
. Como
é contínua,
também é contínua e satisfaz
e
. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe
tal que
, ou seja,
. Logo, o gráfico de
intercepta a diagonal: item i é verdadeiro.
Passo 3
Para o item ii, em pontos
a tangente tem assíntotas verticais, mas o limite pela esquerda é sempre +∞ (não –∞), pois
tende a +∞ ao aproximar-se de cada assíntota pelo lado onde o cosseno muda de sinal adequadamente. Logo, item ii é falso.
Passo 4
Para o item iii, se
e
quando
, então para qualquer
existem e
arbitrariamente próximos de
, garantindo
. Logo, item iii é verdadeiro.
Resposta
Somente i e iii são verdadeiros.