Questão 2. (1,5 pontos) Considere atentamente as afirmações a seguir.
i. Se f:[a, b] [a, b] é contínua, então o gráfico de f intercepta a diagonal do plano cartesiano.
ii. lim x a^- tg(x)=-infty para todo a=pi2+k pi, com k in Z.
iii. Se lim x a f(x)=+infty e lim x a g(x)=-infty, então lim x a f(x) g(x)=-infty.
A seguir, marque com X a sentença que expressa o julgamento correto referente aos itens i, ii e iii:
O único item verdadeiro é iii.

Passo 1

O problema pede para analisar três afirmações sobre continuidade e limites e decidir quais são verdadeiras: fixação de pontos em funções contínuas, comportamento de tan x em assíntotas verticais e produto de funções que divergem em sinais opostos.

Passo 2

Para o item i, definimos g(x)=f(x)-x. Como f:[a,b]to[a,b] é contínua, g também é contínua e satisfaz g(a)=f(a)-a>=0 e g(b)=f(b)-b<=0. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe cin[a,b] tal que g(c)=0, ou seja, f(c)=c. Logo, o gráfico de f intercepta a diagonal: item i é verdadeiro.

Passo 3

Para o item ii, em pontos a=tfracpi2+kpi a tangente tem assíntotas verticais, mas o limite pela esquerda é sempre +∞ (não –∞), pois tan x=sin x/cos x tende a +∞ ao aproximar-se de cada assíntota pelo lado onde o cosseno muda de sinal adequadamente. Logo, item ii é falso.

Passo 4

Para o item iii, se f(x)to+infty e g(x)to-infty quando xto a, então para qualquer M>0 existem e N"); etc mas em essência, o produto de +∞ por ∞ tende a ∞, pois podemos fazer (f(x)>A arbitrariamente próximos de g(x)<-A, garantindo a. Logo, item iii é verdadeiro.

Resposta

Somente i e iii são verdadeiros.

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