Questão 3: (1.5 pontos) Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} contínua. Se f(x)=0, para todo x \in X, então f(x)=0, para todo x \in \bar{X}. Prove isso.

Passo 1

O enunciado afirma que seja f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} uma função contínua e X\subseteq\mathbb{R} tal que
f(x)=0\quad\text{para todo }x\in X.
Devemos mostrar que então
f(x)=0\quad\text{para todo }x\in \overline{X},
ou seja, a função também se anula em cada ponto da aderência de X. Usaremos a caracterização sequencial da aderência e a propriedade de que funções contínuas preservam limites de sequências.

Passo 2

Seja a\in \overline{X}. Pela definição sequencial de aderência, existe uma sequência \{x_n\}\subset X tal que
\lim_{n\to\infty}x_n = a.

Passo 3

Como f é contínua em \mathbb{R}, ela preserva limites de sequências. Logo,
\lim_{n\to\infty}f(x_n) \;=\; f\Bigl(\lim_{n\to\infty}x_n\Bigr) \;=\; f(a).

Passo 4

Por hipótese, cada termo da sequência vale zero, isto é, f(x_n)=0 para todo n. Portanto a sequência \{f(x_n)\} tem limite zero, e concluímos
f(a)=\lim_{n\to\infty}f(x_n)=0.
Como a era um ponto arbitrário de \overline{X}, isso prova que f(x)=0 para todo x\in\overline{X}.

Resposta

Concluímos que, se f é contínua e se anula em X, então ela também se anula em toda a aderência \overline{X}.

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