Questão 3: (1.5 pontos) Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} contínua. Se f(x)=0, para todo x \in X, então f(x)=0, para todo x \in \bar{X}. Prove isso.
Passo 1
O enunciado afirma que seja f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} uma função contínua e X\subseteq\mathbb{R} tal que
f(x)=0\quad\text{para todo }x\in X.
Devemos mostrar que então
f(x)=0\quad\text{para todo }x\in \overline{X},
ou seja, a função também se anula em cada ponto da aderência de X. Usaremos a caracterização sequencial da aderência e a propriedade de que funções contínuas preservam limites de sequências.
Passo 2
Seja a\in \overline{X}. Pela definição sequencial de aderência, existe uma sequência \{x_n\}\subset X tal que
\lim_{n\to\infty}x_n = a.
Passo 3
Como f é contínua em \mathbb{R}, ela preserva limites de sequências. Logo,