{ }^{a} Questão.(2 pontos) Um corpo é encontrado em um escritório com temperatura ambiente constante de 22^{\circ} \mathrm{C}. Um detetive mede:
  • As 15 h00: Temperatura do corpo =32^{\circ} \mathrm{C}. lo =3 \alpha
  • As 15 h 30 : Temperatura do corpo =31^{\circ} \mathrm{C}. tso : य
Sabendo que a temperatura normal do corpo humano em vida é 37^{\circ} \mathrm{C}, determine a equação diferencial que modela o resfriamento do corpo.

Passo 1

O enunciado descreve o resfriamento de um corpo num ambiente de temperatura constante de 22^\circ\mathrm{C}. Às 15 h00 a temperatura do corpo é 32^\circ\mathrm{C} e, 30 min depois, cai para 31^\circ\mathrm{C}. Queremos modelar esse processo por uma equação diferencial.

Passo 2

Pelo enunciado, vale a Lei de Resfriamento de Newton, que afirma que a taxa de variação da temperatura do corpo é proporcional à diferença entre a sua temperatura e a do ambiente.

Passo 3

Definindo T(t) como a temperatura do corpo no instante t (em horas) medido a partir das 15 h00, e T_{\text{amb}}=22^\circ\mathrm{C}, introduzimos a constante de proporcionalidade k>0.

Passo 4

Escrevendo a Lei de Newton, obtemos a equação diferencial que modela o resfriamento:
\frac{dT}{dt} = -\,k\bigl(T(t)-T_{\text{amb}}\bigr).
Para fixar o modelo, adotamos a condição inicial
T(0)=32^\circ\mathrm{C}.

Resposta

\frac{dT}{dt} = -\,k\bigl(T-22\bigr),\quad T(0)=32.

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