Questão 3: (2.5 pontos)
Considere a equaçāo diferencial
(a) Mostre que o ponto
é um ponto ordinário da equação diferencial e dê um valor mínimo para o raio de convergência da solução em série de potência em torno de
.
(b) Determine a relação de recorrência geral para
.
(c) Determine os quatro primeiros termos da solução geral.
(b) Determine a relação de recorrência geral para
(c) Determine os quatro primeiros termos da solução geral.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede: (a) mostrar que
é ponto ordinário e dar raio mínimo de convergência da série em torno de
; (b) achar a relação de recorrência para os coeficientes de
(c) determinar os quatro primeiros termos de
. Vamos usar o método de série de potências e teoria de pontos singulares de equações lineares.
Passo 2
Para ver se
é ponto ordinário escrevemos em forma padrão
dividindo por
:
Aqui
As funções
são analíticas em torno de
(todos têm expansão em potências de
para
). Logo
é ponto ordinário.
O grau de convergência da série é no mínimo até o singular mais próximo, que ocorre em . Assim o raio mínimo de convergência é
O grau de convergência da série é no mínimo até o singular mais próximo, que ocorre em
Passo 3
Assumimos
Substituindo em
e recolhendo coeficientes de
obtém-se para
e para
Isolando
dá, para
,
O caso
fornece a condição especial
Passo 4
Deixando
e
livres (solução geral) e usando
os quatro primeiros termos da série são
Resposta
(a)
é ponto ordinário. O raio de convergência mínimo é
.
(b) Para ,
(b) Para
com a condição
.
(c)
(c)