Questão 3: (2.5 pontos)

Considere a equaçāo diferencial
(1-x) y^{\prime \prime}(x)-x y^{\prime}(x)-y(x)=1
(a) Mostre que o ponto x=0 é um ponto ordinário da equação diferencial e dê um valor mínimo para o raio de convergência da solução em série de potência em torno de x=0.
(b) Determine a relação de recorrência geral para n \geq 1.
(c) Determine os quatro primeiros termos da solução geral.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(1 - x)\,y''(x) \;-\; x\,y'(x)\;-\;y(x)\;=\;1
e pede: (a) mostrar que x=0 é ponto ordinário e dar raio mínimo de convergência da série em torno de 0; (b) achar a relação de recorrência para os coeficientes de
y(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n;
(c) determinar os quatro primeiros termos de y(x). Vamos usar o método de série de potências e teoria de pontos singulares de equações lineares.

Passo 2

Para ver se x=0 é ponto ordinário escrevemos em forma padrão
y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=g(x),
dividindo por 1-x:
y''(x)\;-\;\frac{x}{1-x}\,y'(x)\;-\;\frac{1}{1-x}\,y(x)\;=\;\frac{1}{1-x}.
Aqui
p(x)=-\frac{x}{1-x},\quad q(x)=-\frac{1}{1-x},\quad g(x)=\frac{1}{1-x}.
As funções p,q,g são analíticas em torno de x=0 (todos têm expansão em potências de x para |x|<1). Logo x=0 é ponto ordinário.
O grau de convergência da série é no mínimo até o singular mais próximo, que ocorre em x=1. Assim o raio mínimo de convergência é
R=1.

Passo 3

Assumimos
y(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n,\quad y'(x)=\sum_{n=1}^\infty n\,a_n x^{n-1},\quad y''(x)=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)\,a_n x^{n-2}.
Substituindo em (1-x)y''-x\,y'-y=1 e recolhendo coeficientes de x^k obtém-se para k=0
2\,a_2 - a_0 = 1,
e para k\ge1
(k+2)(k+1)\,a_{k+2}\;-\;k(k+1)\,a_{k+1}\;-\;(k+1)\,a_k \;=\;0.
Isolando a_{k+2} dá, para n\ge1,
\boxed{a_{n+2}=\frac{n\,a_{n+1}+a_n}{n+2}.}
O caso k=0 fornece a condição especial
a_2=\frac{1+a_0}{2}.

Passo 4

Deixando a_0 e a_1 livres (solução geral) e usando
a_2=\frac{1+a_0}{2},\quad a_3=\frac{1\cdot a_2 + a_1}{3}=\frac{(1+a_0)/2 + a_1}{3} =\frac{1 + a_0 +2\,a_1}{6},
os quatro primeiros termos da série são
y(x)=a_0 + a_1\,x +\frac{1+a_0}{2}\,x^2 +\frac{1 + a_0 +2\,a_1}{6}\,x^3 + \cdots.

Resposta

(a) x=0 é ponto ordinário. O raio de convergência mínimo é R=1.
(b) Para n\ge1,
a_{n+2}=\frac{n\,a_{n+1}+a_n}{n+2},
com a condição a_2=(1+a_0)/2.
(c)
y(x)=a_0 + a_1\,x +\frac{1+a_0}{2}\,x^2 +\frac{1 + a_0 +2\,a_1}{6}\,x^3 + \cdots.

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