Questão 4: (2.5 pontos)

Usando a transformada de Laplace, resolva o problema de valor inicial
\begin{cases}y^{\prime \prime}+4 y=\sin t & y^{\prime \prime}=y(s) s^{2}-s y(0)-y^{\prime}(0) \\\ y(0)=1, y^{\prime}(0)=1 . & y=y(s)\end{cases}
A seguinte tabela contem algumas transformadas de Laplace que podem ser úteis para a solução:
f \mathcal{L}\{f\}
1 \frac{1}{s}, s>0
e^{a t} \frac{1}{s-a}, s>a
\sin (a t) \frac{a}{s^{2}+a^{2}}, s>0
\cos (a t) \frac{s}{s^{2}+a^{2}}, s>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + 4y = \sin t,\quad y(0)=1,\;y'(0)=1
usando transformada de Laplace. Vamos chamar
Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}
e usar as fórmulas
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0) e \mathcal{L}\{\sin t\}=\frac{1}{s^2+1}.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em cada termo da EDO, obtemos
\mathcal{L}\{y''\}+4\,\mathcal{L}\{y\} =\mathcal{L}\{\sin t\}
ou seja
\bigl(s^2Y(s)-s\cdot1-1\bigr)+4\,Y(s)=\frac{1}{s^2+1}.

Passo 3

Agrupando Y(s) no lado esquerdo e os termos conhecidos no direito, fica
(s^2+4)\,Y(s)-(s+1)=\frac{1}{s^2+1} \quad\Longrightarrow\quad (s^2+4)\,Y(s)=s+1+\frac{1}{s^2+1}.
Logo
Y(s) =\frac{s+1}{s^2+4} +\frac{1}{(s^2+4)(s^2+1)}.

Passo 4

Para inverter a segunda fração, fazemos frações parciais:
\frac{1}{(s^2+4)(s^2+1)} =\frac{A}{s^2+4}+\frac{B}{s^2+1}.
Multiplicando em cruz:
1=A(s^2+1)+B(s^2+4)=(A+B)s^2+(A+4B).
Igualando coeficientes:
A+B=0,\quad A+4B=1 \quad\Longrightarrow\quad B=\tfrac13,\;A=-\tfrac13.
Então
\frac{1}{(s^2+4)(s^2+1)} =-\frac{1/3}{s^2+4}+\frac{1/3}{s^2+1}.

Passo 5

Substituindo em Y(s):
Y(s) =\frac{s+1}{s^2+4} -\frac{1/3}{s^2+4} +\frac{1/3}{s^2+1} =\frac{s}{s^2+4} +\frac{2/3}{s^2+4} +\frac{1/3}{s^2+1}.
Usando a tabela:
\mathcal{L}^{-1}\{s/(s^2+4)\}=\cos(2t),
\mathcal{L}^{-1}\{1/(s^2+4)\}=\tfrac12\sin(2t),
\mathcal{L}^{-1}\{1/(s^2+1)\}=\sin t.
Logo
y(t) =\cos(2t) +\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac12\sin(2t) +\tfrac{1}{3}\sin t =\cos(2t)+\tfrac{1}{3}\sin(2t)+\tfrac{1}{3}\sin t.

Resposta

y(t)=\cos(2t)+\frac{1}{3}\,\sin(2t)+\frac{1}{3}\,\sin t.

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