Questão 1: (2.5 pontos)
Diga se as séries abaixo convergem (condicionalmente ou absolutamente) ou divergem:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \cdot \sqrt[3]{n^{4}}}{\sqrt[4]{n^{3}+1}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}\,\sqrt[3]{n^{4}}}{\sqrt[4]{n^{3}+1}}
converge (condicionalmente ou absolutamente) ou diverge. Vamos usar o teste da divergência (critério de que os termos devem tender a zero) e analisar o comportamento assintótico de \sqrt[3]{n^4} e \sqrt[4]{n^3+1}.

Passo 2

Escrevemos cada radical em forma de potência:
\sqrt[3]{n^{4}} = n^{4/3}, \quad \sqrt[4]{n^{3}+1} \sim n^{3/4} \quad (n\to\infty).
Logo, para n grande,
\left|\frac{\sqrt[3]{n^{4}}}{\sqrt[4]{n^{3}+1}}\right| \approx \frac{n^{4/3}}{n^{3/4}} = n^{4/3 - 3/4} = n^{7/12}.

Passo 3

Como n^{7/12}\to\infty quando n\to\infty, os termos gerais
a_{n} = \frac{(-1)^{n}\,\sqrt[3]{n^{4}}}{\sqrt[4]{n^{3}+1}}
não tendem a zero. Pelo teste da divergência, uma série cujos termos não vão a zero diverge.

Resposta

A série diverge.

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