onde devemos determinar
(a) os coeficientes a_{n},
(b) o raio de convergência R,
(c) o valor de f^{(7)}(0).
Para isso vamos usar a expansão em série de \arctan z, integrar termo a termo, aplicar o teste de convergência e relacionar derivadas em zero com os coeficientes da série.
Passo 2
Começamos pela expansão conhecida
\arctan z \;=\;\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\,\frac{z^{2k+1}}{2k+1},
válida para \lvert z\rvert\le1. Substituindo z=\tfrac12\tau^{2} obtemos