Questāo 2: (2.5 pontos)
Considere a série de Maclaurin f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} da função
f(x)=\int_{0}^{x} \operatorname{arctg}\left(\frac{1}{2} \tau^{2}\right) d \tau
(a) Determine os coeficientes da série.
(b) Determine o raio de convergência R da série.
(c) Calcule o valor de f^{(7)}(0).

Passo 1

O enunciado define
f(x)=\int_{0}^{x}\arctan\!\bigl(\tfrac12\tau^{2}\bigr)\,d\tau
e pede a série de Maclaurin
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n},
onde devemos determinar
(a) os coeficientes a_{n},
(b) o raio de convergência R,
(c) o valor de f^{(7)}(0).
Para isso vamos usar a expansão em série de \arctan z, integrar termo a termo, aplicar o teste de convergência e relacionar derivadas em zero com os coeficientes da série.

Passo 2

Começamos pela expansão conhecida
\arctan z \;=\;\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\,\frac{z^{2k+1}}{2k+1},
válida para \lvert z\rvert\le1. Substituindo z=\tfrac12\tau^{2} obtemos
\arctan\!\bigl(\tfrac12\tau^{2}\bigr) =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\,\frac{(\tfrac12\tau^{2})^{2k+1}}{2k+1} =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\,\frac{2^{-(2k+1)}\,\tau^{4k+2}}{2k+1}.

Passo 3

Agora integramos termo a termo de 0 até x:
f(x) =\int_{0}^{x}\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\,\frac{2^{-(2k+1)}\,\tau^{4k+2}}{2k+1}\,d\tau =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\,\frac{2^{-(2k+1)}}{2k+1}\,\int_{0}^{x}\tau^{4k+2}d\tau.
Como \int_{0}^{x}\tau^{4k+2}d\tau = x^{4k+3}/(4k+3), temos
f(x) =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\,\frac{2^{-(2k+1)}}{(2k+1)(4k+3)}\,x^{4k+3}.
Logo, na forma \sum_{n=0}^\infty a_n x^n, os termos não nulos ocorrem quando n=4k+3 e
a_{4k+3} =(-1)^{k}\,\frac{2^{-(2k+1)}}{(2k+1)(4k+3)}, \quad a_{n}=0\text{ para os demais }n.

Passo 4

Para o raio de convergência usamos que a série original de \arctan z converge para \lvert z\rvert<1, isto é
\bigl\lvert\tfrac12\tau^{2}\bigr\rvert<1 \quad\Longrightarrow\quad \lvert\tau\rvert<\sqrt{2}.
A integração termo a termo não altera o raio de convergência, portanto
R = \sqrt{2}.

Passo 5

A derivada de ordem 7 em zero está ligada ao coeficiente a_{7} por
f^{(7)}(0)=7!\,a_{7}.
Como 7=4\cdot1+3, corresponde a k=1. Assim
a_{7} =(-1)^{1}\,\frac{2^{-3}}{(2\cdot1+1)(4\cdot1+3)} =-\frac{1/8}{3\cdot7} =-\frac1{168}.
Logo
f^{(7)}(0)=7!\,\bigl(-\tfrac1{168}\bigr) =5040\cdot\bigl(-\tfrac1{168}\bigr) =-30.

Resposta

(a)
a_{n}= \begin{cases} (-1)^{k}\,\dfrac{2^{-(2k+1)}}{(2k+1)(4k+3)},&n=4k+3,\;k\ge0,\\\\ 0,&\text{caso contrário}. \end{cases}á
(b) R=\sqrt{2}.
(c) f^{(7)}(0)=-30.

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