Questão 3 (2,0 pontos) Considere a função f: R^2 R, definida por f(x, y)=x^3-y^3. para cada (x, y) in R^2. Determine o plano tangente ao gráfico de f no ponto P=(1,1,0).

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente ao gráfico da função f:R^2toR definida por
f(x,y)=x^3 - y^3
no ponto P=(1,1,0). Para isso, vamos usar derivadas parciais para obter o gradiente de f e depois aplicar a fórmula de linearização (plano tangente).

Passo 2

As derivadas parciais de f são
partial fpartial x(x,y) = 3x^2
partial fpartial y(x,y) = -3y^2
Logo o gradiente é nabla f(x,y) = (3x^2,-3y^2).
Avaliando em (1,1) obtemos
nabla f(1,1) = (3,-3).

Passo 3

A fórmula do plano tangente a z=f(x,y) em (x0,y0,z0) é
z - z0 = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)
Aqui (x0,y0,z0)=(1,1,0) e (fx(1,1),fy(1,1))=(3,-3). Substituindo:
z - 0 = 3,(x - 1) + (-3),(y - 1)
Simplificando,
z = 3x - 3y

Resposta

z = 3x - 3y

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