Verifique se as funções abaixo são contínuas em x=0\) e justifique. \(f(x)= \begin{cases}x^{2}+2 x-1, & x \leq 0 \\\\ 1-\ln \left((1+x)^{\frac{1}{x}}\right) & , x>0\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= \begin{cases} x^{2}+2x-1, & x\le0,\\\\ 1-\ln\bigl((1+x)^{1/x}\bigr), & x>0, \end{cases}
e pede para verificar se f é contínua em x=0. Para isso precisamos calcular o valor f(0), o limite à esquerda \lim_{x\to0^-}f(x) e o limite à direita \lim_{x\to0^+}f(x), e ver se todos coincidem.

Passo 2

Primeiro, como 0\le0, vale o ramo polinomial em x=0. Logo
f(0)=0^{2}+2\cdot0-1=-1.

Passo 3

Para o limite pela esquerda, como o ramo x^{2}+2x-1 é um polinômio (função contínua), tem-se
\lim_{x\to0^-}f(x) =\lim_{x\to0^-}\bigl(x^{2}+2x-1\bigr) =0^{2}+2\cdot0-1 =-1.

Passo 4

Para o limite pela direita, observamos
\lim_{x\to0^+}f(x) =\lim_{x\to0^+}\Bigl(1-\ln\bigl((1+x)^{1/x}\bigr)\Bigr) =1-\lim_{x\to0^+}\Bigl(\ln\bigl((1+x)^{1/x}\bigr)\Bigr).
Como \ln\bigl((1+x)^{1/x}\bigr)=\tfrac{\ln(1+x)}{x}, usamos o limite padrão
\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1.
Portanto
\lim_{x\to0^+}f(x) =1-1=0.

Passo 5

Comparando os três valores:
f(0)=-1,\quad \lim_{x\to0^-}f(x)=-1,\quad \lim_{x\to0^+}f(x)=0,
vemos que o limite pela direita é diferente de \,-1. Logo f não é contínua em x=0.

Resposta

A função não é contínua em x=0, pois \lim_{x\to0^-}f(x)=-1\neq0=\lim_{x\to0^+}f(x).

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