Questão:
Use a definição formal de limite para provar que:
lim x 5 6x+2=67
Instruções: Pela definição de limite, para todo epsilon>0, deve existir de<a>0 tal que, se 0<mid x- 5 mid<de<a, então |6x+2-67|<epsilon. Mostre todos os passos, incluindo a simplificação da expressão, a escolha de de<a em termos de epsilon, e a verificação de que a desigualdade é satisfeita.

Passo 1

O enunciado pede para provar, pela definição formal de limite, que limxto 5 6x+2 = 67. Isso significa mostrar que para todo epsilon>0 existe de<a>0 tal que, se 0<|x-5|<de<a, então |6x+2-67|<epsilon.

Passo 2

Começamos manipulando a expressão da diferença de forma a isolar |x-5|. Temos:
|6x+2-67| = |6cdot7 - 6(x+2)7(x+2)| = |42 - 6x -127(x+2)| = |6(5 - x)7(x+2)|
Reescrevendo em termos de |x-5|:
|6x+2-67| = 6,|x-5|7,|x+2|

Passo 3

Para controlar o denominador, restringimos x a um intervalo em torno de 5. Seja, por exemplo, de<a1 = 1. Se |x-5|<1, então 4<x<6 e assim
|x+2| > 4 + 2 = 6
Portanto, sempre que |x-5|<1 temos
6,|x-5|7,|x+2| <= 6,|x-5|7cdot6 = |x-5|7

Passo 4

Para garantir |x-5|7<epsilon, basta exigir |x-5|<7epsilon. Assim, basta escolher
de<a = min1,,7epsilon

Passo 5

Agora, se 0<|x-5|<de<a, então automaticamente |x-5|<1 (garantindo o controle do denominador) e |x-5|<7epsilon, o que implica
|6x+2-67| <= |x-5|7 < 7epsilon7 = epsilon
Isso conclui a prova pela definição formal de limite.

Resposta

Escolhendo de<a = min1,7epsilon, garantimos que, sempre que 0<|x-5|<de<a, segue-se l|6/(x+2) - 6/7r|<epsilon, provando que limxto56/(x+2)=6/7.

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