Questão 3 (2,5 pontos)
Considere a Hamiltoniana de um oscilador harmônico de massa
e frequência angular
em uma dimensão:
a) (1,00 ponto) Encontre o operador Hamiltoniano correspondente e mostre que seu espectro é discreto;
b) (0,75 pontos) Mostre que a energia do estado fundamental é
;
c) (0,75 pontos) Encontre a função própria do estado fundamental.
b) (0,75 pontos) Mostre que a energia do estado fundamental é
c) (0,75 pontos) Encontre a função própria do estado fundamental.
Passo 1
O enunciado dá a Hamiltoniana clássica de um oscilador harmônico unidimensional
e pede: (a) construir o operador quantizado
e mostrar que seu espectro é discreto; (b) obter a energia do estado fundamental; (c) achar a função própria desse estado. Vamos usar a representação de posição e os operadores de criação e aniquilação.
Passo 2
Na representação de posição definimos
Logo
Para mostrar que o espectro é discreto, introduzimos
que satisfazem
. Reescrevendo
em termos de
obtém-se
Como
tem autovalores
, segue que
que é um espectro puramente discreto.
Passo 3
O estado fundamental corresponde a
. Portanto a energia mínima é
Passo 4
Para achar a função própria de
resolvemos
. Em posição isso dá
Integrando,
Impondo normalização
encontra-se
Resposta
(a)
, e usand0
obtemos
, totalmente discreto.
(b) .
(c) .
(b)
(c)