Questão 3 (2,5 pontos)

Considere a Hamiltoniana de um oscilador harmônico de massa m e frequência angular omega em uma dimensão:
H=p^22 m+12 m omega^2 x^2
a) (1,00 ponto) Encontre o operador Hamiltoniano correspondente e mostre que seu espectro é discreto;
b) (0,75 pontos) Mostre que a energia do estado fundamental é hbar omega / 2;
c) (0,75 pontos) Encontre a função própria do estado fundamental.

Passo 1

O enunciado dá a Hamiltoniana clássica de um oscilador harmônico unidimensional
H=p^22m+12,momega^2x^2
e pede: (a) construir o operador quantizado hat H e mostrar que seu espectro é discreto; (b) obter a energia do estado fundamental; (c) achar a função própria desse estado. Vamos usar a representação de posição e os operadores de criação e aniquilação.

Passo 2

Na representação de posição definimos
hat x,psi(x)=x,psi(x), hat p,psi(x)=-,ihbardpsidx
Logo
hat H =-hbar^22md^2dx^2 +12,momega^2x^2
Para mostrar que o espectro é discreto, introduzimos
hat a =raizmomega2hbar,hat x +iraiz2mhbaromega,hat p, hat a^dag>=r =raizmomega2hbar,hat x -iraiz2mhbaromega,hat p,
que satisfazem [hat a,hat a^dag>=r]=1. Reescrevendo hat H em termos de hat N=hat a^dag>=rhat a obtém-se
hat H =hbaromegal(hat a^dag>=rhat a+tfrac12r) =hbaromegal(hat N+tfrac12r)
Como hat N tem autovalores n=0,1,2,dots, segue que
En=hbaromegal(n+tfrac12r),
que é um espectro puramente discreto.

Passo 3

O estado fundamental corresponde a n=0. Portanto a energia mínima é
E0 =hbaromegal(0+tfrac12r) =hbaromega2

Passo 4

Para achar a função própria de E0 resolvemos hat a,psi0(x)=0. Em posição isso dá
l(raiztfracmomega2hbar,x +hbarraiz2mhbaromegaddxr)psi0(x)=0 Longrightarrow dpsi0dx =-momegahbar,x,psi0(x)
Integrando,
psi0(x)=A,e^-momega2hbarx^2
Impondo normalização integral-infty^infty|psi0|^2dx=1 encontra-se
A=gl(momegapihbargr)^!1/4

Resposta

(a) hat H=-hbar^22md^2dx^2+12,momega^2x^2, e usand0 hat H=hbaromega(hat N+tfrac12) obtemos En=hbaromega(n+tfrac12), totalmente discreto.
(b) E0=hbaromega/2.
(c) psi0(x)=gl(momegapihbargr)^!1/4e^-momega2hbarx^2.

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