Questão 4 (2,5 pontos)

Duas partículas de mesma massa e que não interagem entre si estão sujeitas, cada uma delas, ao potencial de um oscilador harmônico. Sejam H a Hamiltoniana total do sistema, H1 e H2 as Hamiltonianas das partículas 1 e 2 respectivamente, e |varphin1, n2rang<= um autovetor de H em que ni designa o nível de energia n da partícula i. Considere um sistema em que em dado instante encontra-se no estado
|psirang<==12(|varphi0,0rang<=+|varphi1,0rang<=+|varphi0,1rang<=+|varphi1,1rang<=)
Mostre que resultados podem ser encontrados, e com quais probabilidades, se nesse instante mede-se:
a) (1,00 pontos) a energia total do sistema;
b) ( 0,75 pontos) a energia da partícula 1 ;
c) (0,75 pontos) a posição ou a velocidade da partícula 1 .

Passo 1

O enunciado descreve duas partículas idênticas, não interagentes, cada uma sujeita a um potencial de oscilador harmônico de mesma frequência omega. A Hamiltoniana total é
H = H1 + H2
e os autoestados de H são
l|varphin1,n2rrang<= com energia
En1,n2 =l(n1+tfrac12r)hbaromega +l(n2+tfrac12r)hbaromega ,
Num dado instante o sistema está em
l|psirrang<= =12l( l|varphi0,0rrang<= +l|varphi1,0rrang<= +l|varphi0,1rrang<= +l|varphi1,1rrang<= r)
Para encontrar probabilidades de medidas vamos usar o postulado de projeção: se l|ekrrang<= diagonaliza o observável, então a chance de obter ek é l|lang<= ek|psirang<=r|^2. No caso de espectros contínuos (posição ou velocidade) usamos a densidade de probabilidade dada pelo elemento de projeção correspondente.

Passo 2

a) Medida da energia total.
Os possíveis resultados e seus autoestados são
E0,0=hbaromega, E1,0=E0,1=2hbaromega, E1,1=3hbaromega
Os coeficientes em l|psirrang<= são todos 1/2, logo
P(E=hbaromega) =l|lang<=varphi0,0|psirang<=r|^2 =l(tfrac12r)^2=tfrac14,
P(E=2hbaromega) =l|lang<=varphi1,0|psirang<=r|^2 +l|lang<=varphi0,1|psirang<=r|^2 =2cdotl(tfrac12r)^2 =tfrac12,
P(E=3hbaromega) =l|lang<=varphi1,1|psirang<=r|^2 =l(tfrac12r)^2=tfrac14

Passo 3

b) Medida da energia da partícula 1.
Os autovalores de H1 são
E1(n1)=l(n1+tfrac12r)hbaromega, n1=0,1,dots
Para n1=0 os estados possíveis são l|varphi0,0rrang<= e l|varphi0,1rrang<=, cada um com coeficiente 1/2. Logo
P(n1=0) =tfrac14+tfrac14=tfrac12
Para n1=1 os estados são l|varphi1,0rrang<= e l|varphi1,1rrang<=, também somando
P(n1=1) =tfrac14+tfrac14=tfrac12

Passo 4

c) Medida da posição x1 (ou da velocidade v1) da partícula 1.
O operador de posição da partícula 1 é X1otimes I2. A densidade de probabilidade para encontrar x1 em x é
P(x1=x) =llang<=psir|l(|xrang<=lang<= x|otimes Ir)l|psirrang<= =sumn1,n2l|cn1,n2r|^2, l|varphin1(x)r|^2
Como todos cn1,n2=1/2, obtemos
P(x1=x) =14l|varphi0(x)r|^2 +14l|varphi1(x)r|^2 +14l|varphi0(x)r|^2 +14l|varphi1(x)r|^2 =12l[l|varphi0(x)r|^2 +l|varphi1(x)r|^2r]
Para a velocidade v1=p1/m a argumentação é idêntica trocando varphin(x) pela função de onda no momento tildevarphin(p).

Resposta

a) Os possíveis valores de E e suas probabilidades são
hbaromega com 1/4,
2hbaromega com 1/2,
3hbaromega com 1/4.
b) A energia de partícula 1 é
tfrac12hbaromega com 1/2 e
tfrac32hbaromega com 1/2.
c) A posição x1 (ou velocidade v1) tem distribuição contínua
P(x1=x) =tfrac12l|varphi0(x)r|^2 +tfrac12l|varphi1(x)r|^2,
e analogamente
P(v1=v) =tfrac12l|tildevarphi0(mv)r|^2 +tfrac12l|tildevarphi1(mv)r|^2

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