Duas partículas de mesma massa e que não interagem entre si estão sujeitas, cada uma delas, ao potencial de um oscilador harmônico. Sejam a Hamiltoniana total do sistema, e as Hamiltonianas das partículas 1 e 2 respectivamente, e um autovetor de em que designa o nível de energia da partícula . Considere um sistema em que em dado instante encontra-se no estado
Mostre que resultados podem ser encontrados, e com quais probabilidades, se nesse instante mede-se:
a) (1,00 pontos) a energia total do sistema;
b) ( 0,75 pontos) a energia da partícula 1 ;
c) (0,75 pontos) a posição ou a velocidade da partícula 1 .
Passo 1
O enunciado descreve duas partículas idênticas, não interagentes, cada uma sujeita a um potencial de oscilador harmônico de mesma frequência . A Hamiltoniana total é
Para encontrar probabilidades de medidas vamos usar o postulado de projeção: se l|ekrrang<= diagonaliza o observável, então a chance de obter ek é l|lang<= ek|psirang<=r|^2. No caso de espectros contínuos (posição ou velocidade) usamos a densidade de probabilidade dada pelo elemento de projeção correspondente.
Passo 2
a) Medida da energia total.
Os possíveis resultados e seus autoestados são
b) Medida da energia da partícula 1.
Os autovalores de H1 são
E1(n1)=l(n1+tfrac12r)hbaromega, n1=0,1,dots
Para n1=0 os estados possíveis são l|varphi0,0rrang<= e l|varphi0,1rrang<=, cada um com coeficiente 1/2. Logo
P(n1=0) =tfrac14+tfrac14=tfrac12
Para n1=1 os estados são l|varphi1,0rrang<= e l|varphi1,1rrang<=, também somando
P(n1=1) =tfrac14+tfrac14=tfrac12
Passo 4
c) Medida da posição x1 (ou da velocidade v1) da partícula 1.
O operador de posição da partícula 1 é X1otimes I2. A densidade de probabilidade para encontrar x1 em x é
Para a velocidade v1=p1/m a argumentação é idêntica trocando varphin(x) pela função de onda no momento tildevarphin(p).
Resposta
a) Os possíveis valores de E e suas probabilidades são hbaromega com 1/4, 2hbaromega com 1/2, 3hbaromega com 1/4.
b) A energia de partícula 1 é tfrac12hbaromega com 1/2 e tfrac32hbaromega com 1/2.
c) A posição x1 (ou velocidade v1) tem distribuição contínua