Questão 2. (6.0 pontos) Considere a matriz
A=[cccc 1 & 1 & 2 & -1 -1 & -I & -2 & 1 2 & 2 & 5 & 1 ]
a. ( 2 0 pontos) Determine as dimensões dos quatro espaços fundamentais de A;
b. ( 2.0 pontos) Obtenha bases para os quatro espaços fundamentais de A;
c. (2.0 pontos) Para qual dos dois vetores, b=(1,1,1) ou b=(-1,1,1), o sistema linear A x=b possuí solução?

Passo 1

O enunciado dá a matriz AinR^3times4 e pede:
  1. As dimensões dos quatro espaços fundamentais de A: Col(A), Null(A), Row(A) e Null(A^T).
  2. Bases para esses quatro espaços.
  3. Verificar para qual dos vetores b=(1,1,1) ou b=(-1,1,1) o sistema Ax=b é consistente.
    Vamos usar eliminação de Gauss para achar o posto, as dimensões e as bases, e depois a condição de consistência para Ax=b.

Passo 2

Aplicando eliminação de Gauss em A:
A= 1 & 1 & 2 & -1 -1 & -1 & -2 & 1 2 & 2 & 5 & 1 ;longrightarrow; 1 & 1 & 2 & -1 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 3
Os pivôs ficam nas colunas 1 e 3, logo
rank(A)=2.

Passo 3

Pelo Teorema dos Espaços Fundamentais:
dimCol(A)=rank(A)=2, dimRow(A)=rank(A)=2,
dimNull(A)=n-rank(A)=4-2=2, dimNull(A^T)=m-rank(A)=3-2=1

Passo 4

As bases de Col(A) e Row(A) são:
Col(A)=spanl1-12,;2-25r,
Row(A)=spanl(1,1,2,-1),;(0,0,1,3)r

Passo 5

Para Null(A) resolvemos o sistema escalonado:
x1 + x2 +2x3 - x4 =0, x3 +3x4 =0;Longrightarrow;x3=-3x4
Então x1=-x2+7x4. Com x2=s, x4=t obtemos
x = s-1100 + t70-31
Logo
Null(A)=spanl-1100,;70-31r

Passo 6

Para Null(A^T) resolvemos A^T y=0. Isso leva a
y1=y2, y3=0,
logo
Null(A^T)=spanl110r

Passo 7

O sistema Ax=b é consistente se e só se binCol(A). Da linha 2 (que é -linha 1) vem a condição b2=-b1.
  • Para b=(1,1,1) temos 1neq-1, inconsistente.
  • Para b=(-1,1,1) temos 1=-(-1), consistente.

Resposta

a) dimCol(A)=2, dimRow(A)=2, dimNull(A)=2, dimNull(A^T)=1.
b)
Col(A)=spanl1-12,2-25r, Row(A)=span(1,1,2,-1),(0,0,1,3),
Null(A)=spanl-1100,70-31r, Null(A^T)=spanl110r
c) O sistema Ax=b possui solução apenas para b=(-1,1,1).

Exercícios relacionados