Questão 1. (4.0 pontos) Considere os seguintes vetores do espaço vetorial ,
1.0 pt 20 pts
logt
6.0 gk
a. (1.0 ponto) O conjunto v1, v2, v3 é linearmente independente?
b. ( 2.0 pontos) A matriz B, cujas colunas são v1, v2 e v3, possui alguma inversa? Se sim, qual é esta inversa?
c. (1.0 ponto) Resolva o sistema linear B x=b, com
b=[l 1 1 ]
Passo 1
O enunciado dá três vetores em R^2,
v1=1-1, v2=02, v3=-11,
e pede:
– (a) verificar se v1,v2,v3 é linearmente independente;
– (b) dizer se a matriz B=[v1;v2;v3] tem inversa;
– (c) resolver B,x=b com b=(1,1)^T.
O conteúdo envolve dependência linear, invertibilidade de matrizes e solução de sistema linear.
Passo 2
Para testar dependência linear, consideramos
c1v1+c2v2+c3v3=0
Nas componentes isso dá o sistema
c1-c3=0, -,c1+2c2+c3=0
Da primeira equação c1=c3. Substituindo na segunda vem
-,c3+2c2+c3=2c2=0implies c2=0,
mas c1=c3 pode ser qualquer valor. Há solução não trivial, logo os vetores são linearmente dependentes.
Passo 3
A matriz
B=1&0&-1-1&2&1
é de tamanho 2times3 e suas colunas são linearmente dependentes. Não é quadrada com posto máximo, portanto não possui inversa no sentido usual.
Passo 4
Para resolver
isto é
Da primeira equação . Chamando , obtemos a solução geral.
Resposta
a. Não é linearmente independente (há combinação não trivial).
b. B não possui inversa (não é quadrada e tem colunas dependentes).
c. A solução geral de B,x=b é