Questão 3 [ 4,0 pontos] Considere os pontos A=(-1,-3), B=(5,3) e C=(5,-7) para responder as seguintes questões.
(a) [1,0 ponto] Encontre as equações paramétricas da reta r a qual é a mediatriz do segmento AB.

Passo 1

Beleza, bora lá! A gente tem que encontrar as equações paramétricas da reta r , que é a mediatriz do segmento AB entre os pontos A = (-1, -3) e B = (5, 3) . A matéria aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre mediatrizes e equações de retas. Para resolver, vamos precisar achar o ponto médio de AB e a inclinação da mediatriz, que é perpendicular à inclinação de AB .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto médio M do segmento AB . A fórmula do ponto médio entre A(x1, y1) e B(x2, y2) é:
M = ( x1 + x22, y1 + y22 )
Aplicando os valores de A e B :
M = ( -1 + 52, -3 + 32 ) = ( 42, 02 ) = (2, 0)
Então, o ponto médio é M = (2, 0) .

Passo 3

Agora, vamos determinar a inclinação da reta AB . A inclinação m entre dois pontos é dada por:
m = y2 - y1x2 - x1
Aplicando os pontos A e B :
mAB = 3 - (-3)5 - (-1) = 66 = 1
Então, a inclinação de AB é mAB = 1 .

Passo 4

A mediatriz de AB é perpendicular a AB . Então, a inclinação da mediatriz mr será o negativo do inverso de mAB :
mr = -1mAB = -11 = -1
Então, a inclinação da reta r é mr = -1 .

Passo 5

Com o ponto médio M = (2, 0) e a inclinação mr = -1 , podemos escrever a equação da reta r na forma ponto-inclinação:
y - y0 = mr (x - x0)
Substituindo M e mr :
y - 0 = -1 (x - 2) implies y = -x + 2

Resposta

As equações paramétricas da reta r são:
x = 2 + t y = -2 + t

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