Questão 3 [ 4,0 pontos] Considere os pontos A=(-1,-3), B=(5,3) e C=(5,-7) para responder as seguintes questões.
(b) [1,0 ponto] Encontre a equação cartesiana da reta t a qual é a mediatriz AC.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem os pontos A(-1, -3) e C(5, -7) . A parada é encontrar a equação da reta t , que é a mediatriz do segmento AC . Pra fazer isso, vamos precisar achar o ponto médio de AC e a inclinação da reta perpendicular a AC .

Passo 2

Primeiro, vamos achar o ponto médio de AC . A fórmula para o ponto médio entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é:
M = ( x1 + x22, y1 + y22 )
Aplicando isso aos pontos A(-1, -3) e C(5, -7) :
M = ( -1 + 52, -3 + (-7)2 ) = ( 42, -102 ) = (2, -5)

Passo 3

Agora, vamos encontrar a inclinação da reta AC . A fórmula da inclinação entre dois pontos é:
m = y2 - y1x2 - x1
Para A(-1, -3) e C(5, -7) :
mAC = -7 - (-3)5 - (-1) = -46 = -23

Passo 4

A mediatriz t é perpendicular a AC , então a inclinação da mediatriz é o negativo inverso da inclinação de AC . Ou seja:
mt = -1mAC = -1-23 = 32

Passo 5

Com a inclinação mt = 32 e passando pelo ponto médio M(2, -5) , podemos usar a fórmula ponto-inclinação para achar a equação da reta:
y - y1 = mt (x - x1)
Substituindo:
y - (-5) = 32(x - 2) Rightarrow y + 5 = 32x - 3
Resolvendo para y :
y = 32x - 8

Resposta

A equação cartesiana da reta t é y = 32x - 8 .

Exercícios relacionados