Questão 2 [ 3,0 pontos] Considere os vetores u e v tais que |u|=2 e |v|=3 os quais formam entre eles o ângulo de 2 pi3. Sem usar coordenadas, use a definição e as propriedades de produto interno para responder as seguintes questões.
(c) [1 ponto] Encontre o valor de lang<=u+2 v, v-2 urang<=.

Passo 1

Vamos entender o que foi dado e o que precisamos encontrar. Temos dois vetores, u e v, com normas |u| = 2 e |v| = 3. O ângulo entre eles é 2pi3. Precisamos encontrar o valor de lang<=u+2 v, v-2 urang<=, que é o produto interno entre os vetores u + 2v e v - 2u. Vamos usar as propriedades do produto interno para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto interno é distributivo, ou seja, lang<= ax + by, z rang<= = alang<= x, z rang<= + blang<= y, z rang<=. Então, podemos expandir lang<=u+2 v, v-2 urang<= da seguinte forma:
lang<= u, v rang<= - 2lang<= u, u rang<= + 2lang<= v, v rang<= - 4lang<= v, u rang<=

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada termo. Sabemos que lang<= u, u rang<= = |u|^2 e lang<= v, v rang<= = |v|^2. Além disso, lang<= u, v rang<= = lang<= v, u rang<=.
Substituindo, temos:
lang<= u, v rang<= - 2|u|^2 + 2|v|^2 - 4lang<= u, v rang<=

Passo 4

Agora, vamos calcular lang<= u, v rang<=. A definição do produto interno em termos de normas e ângulo é:
lang<= u, v rang<= = |u| cdot |v| cdot cos(theta)
onde theta é o ângulo entre u e v.
Substituindo os valores que temos:
lang<= u, v rang<= = 2 cdot 3 cdot cos(2pi3)
Sabemos que cos(2pi3) = -12, então:
lang<= u, v rang<= = 2 cdot 3 cdot (-12) = -3

Passo 5

Agora, substituímos lang<= u, v rang<= = -3, |u| = 2 e |v| = 3 na expressão que temos:
-3 - 2(2)^2 + 2(3)^2 - 4(-3)
Calculando cada parte:
-3 - 2(4) + 2(9) - 4(-3) = -3 - 8 + 18 + 12

Resposta

Somando os termos:
-3 - 8 + 18 + 12 = 19
Então, o valor de lang<=u+2 v, v-2 urang<= é 19.

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