Questão 2 [ 3,0 pontos] Considere os vetores
e
tais que
e
os quais formam entre eles o ângulo de
. Sem usar coordenadas, use a definição e as propriedades de produto interno para responder as seguintes questões.
(c) [1 ponto] Encontre o valor de
.
(c) [1 ponto] Encontre o valor de
Passo 1
Vamos entender o que foi dado e o que precisamos encontrar. Temos dois vetores,
e
, com normas
e
. O ângulo entre eles é
. Precisamos encontrar o valor de
, que é o produto interno entre os vetores
e
. Vamos usar as propriedades do produto interno para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto interno é distributivo, ou seja,
. Então, podemos expandir
da seguinte forma:
Passo 3
Agora, vamos simplificar cada termo. Sabemos que
e
. Além disso,
.
Substituindo, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. A definição do produto interno em termos de normas e ângulo é:
onde
é o ângulo entre
e
.
Substituindo os valores que temos:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, substituímos
,
e
na expressão que temos:
Calculando cada parte:
Resposta
Somando os termos:
Então, o valor de
é 19.