Questão 3 [ 4,0 pontos] Considere os pontos A=(-1,-3), B=(5,3) e C=(5,-7) para responder as seguintes questões.
(d) [1,0 ponto] Encontre, o centro, o raio e a equação do círculo que passa pelos pontos A, B e C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para encontrar o centro, o raio e a equação de um círculo que passa pelos pontos A=(-1,-3) , B=(5,3) e C=(5,-7) . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre círculos e mediatrizes de segmentos de reta.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o centro do círculo. Sabemos que o centro do círculo está no ponto onde as mediatrizes de dois segmentos de reta que ligam os pontos do círculo se intersectam. Vamos usar os segmentos AB e AC para isso.

Passo 3

Vamos encontrar a mediatriz do segmento AB . Primeiro, calculamos o ponto médio de AB :
Ponto médio de AB = ( -1 + 52, -3 + 32 ) = ( 2, 0 ) é
Agora, encontramos o coeficiente angular de AB :
mAB = 3 - (-3)5 - (-1) = 66 = 1
A mediatriz é perpendicular a AB , então o coeficiente angular da mediatriz será m = -1mAB = -1 . Usando o ponto médio (2,0) , a equação da mediatriz de AB é:
y - 0 = -1(x - 2) implies y = -x + 2

Passo 4

Agora, vamos encontrar a mediatriz do segmento AC . Primeiro, calculamos o ponto médio de AC :
Ponto médio de AC = ( -1 + 52, -3 + (-7)2 ) = ( 2, -5 ) é
Calculamos o coeficiente angular de AC :
mAC = -7 - (-3)5 - (-1) = -46 = -23
A mediatriz é perpendicular a AC , então o coeficiente angular da mediatriz será m = -1mAC = 32 . Usando o ponto médio (2,-5) , a equação da mediatriz de AC é:
y - (-5) = 32(x - 2) implies y + 5 = 32x - 3 implies y = 32x - 8

Passo 5

Agora, encontramos o ponto de intersecção das duas mediatrizes para determinar o centro do círculo. Temos as equações:
y = -x + 2 (Mediatriz de AB)
y = 32x - 8 (Mediatriz de AC)
Igualando as duas expressões para y :
-x + 2 = 32x - 8
Resolvendo para x :
2 + 8 = 32x + x implies 10 = 52x implies x = 4
Substituindo x = 4 na equação y = -x + 2 :
y = -4 + 2 = -2
Portanto, o centro do círculo é (4, -2) .

Passo 6

Agora, vamos encontrar o raio do círculo, que é a distância entre o centro (4, -2) e qualquer um dos pontos A, B ou C . Vamos usar o ponto A=(-1,-3) :
r = raiz(4 - (-1))^2 + (-2 - (-3))^2 = raiz5^2 + 1^2 = raiz25 + 1 = raiz26

Passo 7

Com o centro (4, -2) e o raio raiz26 , podemos escrever a equação do círculo usando a fórmula:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Substituindo os valores:
(x - 4)^2 + (y + 2)^2 = (raiz26)^2 implies (x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 26

Resposta

O centro do círculo é (4, -2) , o raio é raiz26 , e a equação do círculo é:
(x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 26

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