Questão 3 [ 4,0 pontos] Considere os pontos
e
para responder as seguintes questões.
(d)
ponto] Encontre, o centro, o raio e a equação do círculo que passa pelos pontos
e
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que pede para encontrar o centro, o raio e a equação de um círculo que passa pelos pontos
,
e
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre círculos e mediatrizes de segmentos de reta.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o centro do círculo. Sabemos que o centro do círculo está no ponto onde as mediatrizes de dois segmentos de reta que ligam os pontos do círculo se intersectam. Vamos usar os segmentos
e
para isso.
Passo 3
Vamos encontrar a mediatriz do segmento
. Primeiro, calculamos o ponto médio de
:
Agora, encontramos o coeficiente angular de
:
A mediatriz é perpendicular a
, então o coeficiente angular da mediatriz será
. Usando o ponto médio
, a equação da mediatriz de
é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a mediatriz do segmento
. Primeiro, calculamos o ponto médio de
:
Calculamos o coeficiente angular de
:
A mediatriz é perpendicular a
, então o coeficiente angular da mediatriz será
. Usando o ponto médio
, a equação da mediatriz de
é:
Passo 5
Agora, encontramos o ponto de intersecção das duas mediatrizes para determinar o centro do círculo. Temos as equações:
Igualando as duas expressões para
:
Resolvendo para
:
Substituindo
na equação
:
Portanto, o centro do círculo é
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar o raio do círculo, que é a distância entre o centro
e qualquer um dos pontos
ou
. Vamos usar o ponto
:
Passo 7
Com o centro
e o raio
, podemos escrever a equação do círculo usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Resposta
O centro do círculo é
, o raio é
, e a equação do círculo é: