Questão.(2,5 pontos) Considere o PVI
Calcule o valor da solução do PVI quando
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial de quarta ordem:
Além disso, temos quatro condições iniciais:
Nosso objetivo é resolver essa equação diferencial com essas condições iniciais e encontrar o valor de
quando
. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos para equações diferenciais lineares homogêneas de ordem superior, encontrando as raízes da equação característica e depois determinando os coeficientes usando as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial:
Isso significa que precisamos resolver
. As soluções dessa equação são as raízes quartas da unidade.
Passo 3
As raízes de
são:
Onde
é a unidade imaginária (
). Então, temos duas raízes reais e duas raízes complexas.
Passo 4
Com essas raízes, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Aqui,
e
são constantes que precisamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
- Para
:
- Para
:
Derivando
:
Aplicando
:
- Para
:
Derivando novamente:
Aplicando
:
- Para
:
Derivando mais uma vez:
Aplicando
:
Passo 6
Agora, vamos resolver esse sistema de equações:
Somando as equações 1 e 3:
Da equação (a):
Substituindo
na equação 2:
Substituindo
na equação 1:
Da equação 4:
Então:
Resposta
Substituindo os valores das constantes na solução geral:
Portanto, quando
: