a Questão.(2,5 pontos) Considere o PVI
y^(4) - y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0, y''(0) = -1, y'''(0) = 0
Calcule o valor da solução do PVI quando t = pi / 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial de quarta ordem:
Além disso, temos quatro condições iniciais:
Nosso objetivo é resolver essa equação diferencial com essas condições iniciais e encontrar o valor de quando . Para resolver isso, vamos precisar usar métodos para equações diferenciais lineares homogêneas de ordem superior, encontrando as raízes da equação característica e depois determinando os coeficientes usando as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial:
Isso significa que precisamos resolver . As soluções dessa equação são as raízes quartas da unidade.

Passo 3

As raízes de são:
Onde é a unidade imaginária ( ). Então, temos duas raízes reais e duas raízes complexas.

Passo 4

Com essas raízes, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Aqui, e são constantes que precisamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de e .
  1. Para :
  1. Para :
Derivando :
Aplicando :
  1. Para :
Derivando novamente:
Aplicando :
  1. Para :
Derivando mais uma vez:
Aplicando :

Passo 6

Agora, vamos resolver esse sistema de equações:
Somando as equações 1 e 3:
Da equação (a):
Substituindo na equação 2:
Substituindo na equação 1:
Da equação 4:
Então:

Resposta

Substituindo os valores das constantes na solução geral:
Portanto, quando :

Exercícios relacionados