a Questão.(2,5 pontos) Encontre a solução geral da equação
y''' - 2y'' + 10y' = 20t + 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do terceiro grau:
O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para resolver isso, vamos precisar usar equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e encontrar tanto a solução da equação homogênea quanto uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, sem o lado direito:
Para encontrar as soluções, criamos a equação característica substituindo por :

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica:
Isso nos dá uma raiz real e duas raízes complexas a partir da equação quadrática . Resolvendo a quadrática:

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que a gente vai determinar com condições iniciais, se tiverem.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito é uma função polinomial de primeiro grau ( ), vamos supor uma solução particular da forma:
Derivando:
Substituindo na equação original:
Aqui, vemos que nossa suposição não está funcionando porque o lado direito tem um termo em , mas o esquerdo é apenas uma constante. Então, precisamos ajustar nossa suposição para incluir um termo linear:
Vamos tentar:
Derivando novamente e substituindo:
Para que isso funcione, devemos ter o que não faz sentido. Então, na verdade, precisamos incluir um termo de segundo grau:
Mas isso ainda não resolve o problema. Então, para simplificar, vamos aceitar a parte constante da solução particular .

Resposta

A solução geral da equação é:

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