Resolva as equações diferenciais a variáveis separáveis:
l) y' = y^4 sen(3x)

Passo 1

Beleza, o exercício que temos aqui é resolver a equação diferencial a variáveis separáveis: . Isso pertence ao conteúdo de Equações Diferenciais, mais especificamente usando a técnica de separação de variáveis. Vamos precisar reorganizar a equação para que todos os termos com fiquem de um lado e os com do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a derivada como :
Agora, vamos separar as variáveis multiplicando ambos os lados por e dividindo por :

Passo 3

Com as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados da equação:
Calculando as integrais:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:

Passo 4

Igualando as duas integrais e combinando as constantes e em uma única constante :
Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por :
Vamos chamar de apenas para simplificar:

Resposta

Resolvendo para , temos a solução geral da equação diferencial:
Onde é a constante de integração.

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