a Questão.(2,5 pontos) Resolva o PVI
{ (1 + t^2) y' + 2 t y = cos(2 t) \\ y(0) = 0 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI). A gente tem uma equação diferencial do primeiro grau e uma condição inicial. Vamos usar o método do fator integrante para achar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear:
No nosso caso, a equação é:
Dividindo tudo por para deixar na forma padrão:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante . Ele é dado por:
Aqui, , então:
Portanto:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pela fator integrante :
O lado esquerdo agora é a derivada de :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso dá:

Passo 6

Agora, resolvemos para :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial :

Resposta

A solução do PVI é:

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