Questão.(3,0 pontos) Considere o PVI
(a) Para qual valor de
a solução é nula?
Passo 1
Vamos analisar o problema: temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Nosso objetivo é encontrar para qual valor de
a solução dessa equação é igual a zero. Para resolver isso, vamos usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e aplicar as condições dadas para determinar a solução completa.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada:
Esta é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 3
Para resolver essa equação, precisamos encontrar a equação característica associada. A equação característica é obtida substituindo
na equação diferencial, resultando em:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação quadrática
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 5
Com as raízes reais e distintas
e
, a solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
:
Então, temos:
Passo 7
Agora, derivamos a solução geral para encontrar
:
Aplicamos a condição inicial
:
Então, temos:
Passo 8
Resolvemos o sistema de equações (1) e (2):
De (1):
Substituímos em (2):
Multiplicamos por 2 para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Então, substituindo em (1):
Passo 9
Com os valores de
e
, a solução particular é:
Passo 10
Queremos encontrar para qual valor de
a solução é nula, ou seja,
:
Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por 2:
Então:
Passo 11
Dividindo ambos os lados por
:
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para
:
Resposta
O valor de
que torna a solução nula é
.