a Questão.(3,0 pontos) Considere o PVI
4 y'' - 8 y' + 3 y = 0, y(0) = 2, y'(0) = 1/2
(a) Para qual valor de t a solução é nula?

Passo 1

Vamos analisar o problema: temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Nosso objetivo é encontrar para qual valor de a solução dessa equação é igual a zero. Para resolver isso, vamos usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e aplicar as condições dadas para determinar a solução completa.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada:
Esta é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 3

Para resolver essa equação, precisamos encontrar a equação característica associada. A equação característica é obtida substituindo na equação diferencial, resultando em:

Passo 4

Agora, resolvemos a equação quadrática . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:

Passo 5

Com as raízes reais e distintas e , a solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial :
Então, temos:

Passo 7

Agora, derivamos a solução geral para encontrar :
Aplicamos a condição inicial :
Então, temos:

Passo 8

Resolvemos o sistema de equações (1) e (2):
De (1):
Substituímos em (2):
Multiplicamos por 2 para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Então, substituindo em (1):

Passo 9

Com os valores de e , a solução particular é:

Passo 10

Queremos encontrar para qual valor de a solução é nula, ou seja, :
Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por 2:
Então:

Passo 11

Dividindo ambos os lados por :
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para :

Resposta

O valor de que torna a solução nula é .

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