a Questão.(2,0 pontos) Encontre uma solução particular adequada Y = Y(t) para as EDOs sem calcular os coeficientes indeterminados.
(b) y'' + 2y' + 5y = 3t e^(-t) cos(2t).

Passo 1

Resumo da Questão: Temos a equação diferencial ordinária (EDO) . Nosso objetivo é encontrar uma solução particular para essa EDO sem precisar calcular os coeficientes indeterminados. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar, observando a forma do termo do lado direito da equação.
Conteúdo Necessário:
  • Equações diferenciais lineares não homogêneas de segunda ordem
  • Método dos coeficientes a determinar
  • Soluções da equação homogênea associada

Passo 2

Encontrando a Solução da Equação Homogênea:
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada .
Formamos a equação característica:
Resolvendo para usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Proposta da Solução Particular:
Observamos que o lado direito da EDO é , que já reflete a forma da solução homogênea. Para evitar que a solução particular se sobreponha à homogênea, multiplicamos por .
Assim, propomos uma solução particular da forma:
onde e são coeficientes indeterminados que seriam encontrados ao substituir na EDO original. No entanto, como a questão pede para não calcular esses coeficientes, paramos aqui.

Resposta

Uma solução particular adequada é:

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