Questão.(2,0 pontos) Encontre uma solução particular adequada
para as EDOs sem calcular os coeficientes indeterminados.
(b)
.
(b)
Passo 1
Resumo da Questão: Temos a equação diferencial ordinária (EDO)
. Nosso objetivo é encontrar uma solução particular
para essa EDO sem precisar calcular os coeficientes indeterminados. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar, observando a forma do termo do lado direito da equação.
Conteúdo Necessário:
- Equações diferenciais lineares não homogêneas de segunda ordem
- Método dos coeficientes a determinar
- Soluções da equação homogênea associada
Passo 2
Encontrando a Solução da Equação Homogênea:
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada .
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada
Formamos a equação característica:
Resolvendo para
usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Proposta da Solução Particular:
Observamos que o lado direito da EDO é , que já reflete a forma da solução homogênea. Para evitar que a solução particular se sobreponha à homogênea, multiplicamos por
.
Observamos que o lado direito da EDO é
Assim, propomos uma solução particular da forma:
onde
e
são coeficientes indeterminados que seriam encontrados ao substituir
na EDO original. No entanto, como a questão pede para não calcular esses coeficientes, paramos aqui.
Resposta
Uma solução particular adequada é: