Questão.(2,0 pontos) Encontre uma solução particular adequada
para as EDOs sem calcular os coeficientes indeterminados.
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma solução particular para a equação diferencial ordinária (EDO)
. Aqui, estamos lidando com EDOs de segunda ordem com termos não homogêneos do tipo polinomial e exponencial. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar soluções particulares para diferentes tipos de termos não homogêneos na EDO.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a equação em duas partes: uma para o termo polinomial
e outra para o termo exponencial
. Isso porque a solução particular total será a soma das soluções particulares de cada um desses termos.
Passo 3
Começando com o termo polinomial
, sabemos que para termos polinomiais de grau
, assumimos uma solução particular da forma
, onde
,
, e
são constantes a serem determinados.
Passo 4
Agora, para o termo exponencial
, a solução particular assume a forma
, onde
e
são constantes a serem encontradas. Essa forma é escolhida porque o termo exponencial está multiplicado por um polinômio de primeiro grau.
Passo 5
A solução particular total
será a soma das duas soluções particulares encontradas:
Essa é a forma adequada sem calcular os coeficientes indeterminados, atendendo ao que foi solicitado no enunciado.
Resposta
A solução particular adequada para a EDO
é: