a Questão.(2,0 pontos) Encontre uma solução particular adequada Y = Y(t) para as EDOs sem calcular os coeficientes indeterminados.
(a) y'' + 3y' = 2t^2 + t e^(-3t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma solução particular para a equação diferencial ordinária (EDO) . Aqui, estamos lidando com EDOs de segunda ordem com termos não homogêneos do tipo polinomial e exponencial. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar soluções particulares para diferentes tipos de termos não homogêneos na EDO.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a equação em duas partes: uma para o termo polinomial e outra para o termo exponencial . Isso porque a solução particular total será a soma das soluções particulares de cada um desses termos.

Passo 3

Começando com o termo polinomial , sabemos que para termos polinomiais de grau , assumimos uma solução particular da forma , onde , , e são constantes a serem determinados.

Passo 4

Agora, para o termo exponencial , a solução particular assume a forma , onde e são constantes a serem encontradas. Essa forma é escolhida porque o termo exponencial está multiplicado por um polinômio de primeiro grau.

Passo 5

A solução particular total será a soma das duas soluções particulares encontradas:
Essa é a forma adequada sem calcular os coeficientes indeterminados, atendendo ao que foi solicitado no enunciado.

Resposta

A solução particular adequada para a EDO é:

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