Questão 3. ( 2,0 pontos) Forneça as projeções do vetor \vec{u}=(2,5) em cada uma das seguintes direções (ortogonais):
\vec{v}=(-2,-6) \quad \text { e } \quad \vec{w}=(3,-1)
Em particular, verifique que \vec{u}=\operatorname{proj}_{\vec{v}} \vec{u}+\operatorname{proj}_{\vec{w}} \vec{u}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\vec{u}=(2,5), \vec{v}=(-2,-6) e \vec{w}=(3,-1), pede as projeções ortogonais de \vec{u} em \vec{v} e em \vec{w} e quer que verifiquemos que
\vec{u} = \operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u} \;+\;\operatorname{proj}_{\vec{w}}\vec{u}.
O conteúdo principal é a projeção de um vetor em outro em \mathbb{R}^2 e a decomposição ortogonal.

Passo 2

Primeiro checamos que \vec{v} e \vec{w} são ortogonais, calculando o produto escalar:
\vec{v}\cdot\vec{w} = (-2)\cdot 3 + (-6)\cdot(-1) = -6 + 6 = 0.
Como dá zero, estão de fato em direções ortogonais. A fórmula de projeção de \vec{u} sobre \vec{v} é
\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u} = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}}\;\vec{v},
e similarmente para \operatorname{proj}_{\vec{w}}\vec{u}.

Passo 3

Calcular \operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u}:
\vec{u}\cdot\vec{v} = 2\cdot(-2) + 5\cdot(-6) = -4 - 30 = -34,
\vec{v}\cdot\vec{v} = (-2)^2 + (-6)^2 = 4 + 36 = 40,
logo o coeficiente é -34/40 = -17/20. Assim
\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u} = -\frac{17}{20}\,(-2,-6) = \Bigl(\frac{34}{20},\frac{102}{20}\Bigr) = \Bigl(\frac{17}{10},\frac{51}{10}\Bigr).

Passo 4

Calcular \operatorname{proj}_{\vec{w}}\vec{u}:
\vec{u}\cdot\vec{w} = 2\cdot3 + 5\cdot(-1) = 6 - 5 = 1,
\vec{w}\cdot\vec{w} = 3^2 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10,
o coeficiente é 1/10. Então
\operatorname{proj}_{\vec{w}}\vec{u} = \frac{1}{10}\,(3,-1) = \Bigl(\frac{3}{10},-\frac{1}{10}\Bigr).

Passo 5

Verificamos a soma das projeções:
\Bigl(\tfrac{17}{10},\tfrac{51}{10}\Bigr) + \Bigl(\tfrac{3}{10},-\tfrac{1}{10}\Bigr) = \Bigl(\tfrac{20}{10},\tfrac{50}{10}\Bigr) = (2,5) = \vec{u},
o que confirma a decomposição ortogonal desejada.

Resposta

\displaystyle \operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u}=\bigl(\tfrac{17}{10},\tfrac{51}{10}\bigr),
\displaystyle \operatorname{proj}_{\vec{w}}\vec{u}=\bigl(\tfrac{3}{10},-\tfrac{1}{10}\bigr),
e de fato \vec{u}=\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u}+\operatorname{proj}_{\vec{w}}\vec{u}.

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