Questão 1: (2.5 pontos)
Diga se as séries abaixo convergem (condicionalmente ou absolutamente) ou divergem:
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \cdot \ln (n)}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado nos pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{\ln(n)}{n^{2}}.
O conteúdo envolve testes de convergência de séries numéricas, em especial conceito de convergência absoluta e teste de séries alternadas.

Passo 2

Para verificar a convergência absoluta, analisamos a série de termos positivos
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\ln(n)}{n^{2}}.
Usamos o teste de comparação limite com a p‐série \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{3/2}}, que converge pois 3/2>1. Calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{\tfrac{\ln(n)}{n^{2}}}{\tfrac{1}{n^{3/2}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n)}{n^{1/2}} =0.
Como esse limite é finito e a série de comparação converge, segue que
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\ln(n)}{n^{2}}
converge.

Passo 3

Como a série dos valores absolutos converge, a série original converge absolutamente (logo converge, não apenas condicionalmente).

Resposta

A série converge absolutamente.

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