QUESTÃO 3 (4 PONTOS):
Decida se as séries abaixo convergem absolutamente, condicionalment ou divergem. Justifique! Qual foi o critério de convergência utilizado?
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \sqrt[3]{\sin \left(\frac{1}{n^{2}}\right)}

Passo 1

O enunciado nos dá a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\sqrt[3]{\sin\bigl(1/n^{2}\bigr)}
e pede para decidir se ela converge absolutamente, condicionalmente ou diverge. O conteúdo é teste de convergência de séries alternadas (Teste de Leibniz) e teste de séries p para a parte absoluta.

Passo 2

Definimos
b_{n} = \sqrt[3]{\sin\bigl(1/n^{2}\bigr)},
que é o termo positivo da parte não-alternada. Para n\to\infty temos 1/n^{2}\to0 e, usando a expansão \sin x\sim x quando x\to0,
\sin\bigl(1/n^{2}\bigr)\sim \frac1{n^{2}} \quad\Longrightarrow\quad b_{n}\sim \bigl(1/n^{2}\bigr)^{1/3} = \frac1{n^{2/3}}.
Em particular \lim_{n\to\infty}b_{n}=0.

Passo 3

Verificamos que \{b_{n}\} é monotonicamente decrescente para n grande, pois n\mapsto1/n^{2} decresce, \sin x é crescente em [0,1] e a raiz cúbica preserva essa ordem. Logo, a hipótese de monotonicidade do Teste de Leibniz está satisfeita.

Passo 4

Pelo Teste de Leibniz para séries alternadas, como
  1. b_{n}\ge0 e decresce,
  2. \lim_{n\to\infty}b_{n}=0,
    então
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_{n}
converge.

Passo 5

Para a convergência absoluta, estudamos
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl|(-1)^{n+1}b_{n}\bigr| =\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}.
Como vimos b_{n}\sim n^{-2/3}, com p=2/3<1, a série \sum n^{-2/3} diverge (série p com p\le1). Pelo Critério da Comparação Limite ou do p-teste, \sum b_{n} também diverge.

Resposta

A série converge condicionalmente.
Critérios usados: Teste de Leibniz (convergência alternada) e teste de série p (divergência da parte absoluta).

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