Decida se as séries abaixo convergem absolutamente, condicionalment ou divergem. Justifique! Qual foi o critério de convergência utilizado? \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \sqrt[3]{\sin \left(\frac{1}{n^{2}}\right)}
e pede para decidir se ela converge absolutamente, condicionalmente ou diverge. O conteúdo é teste de convergência de séries alternadas (Teste de Leibniz) e teste de séries p para a parte absoluta.
Passo 2
Definimos
b_{n} = \sqrt[3]{\sin\bigl(1/n^{2}\bigr)},
que é o termo positivo da parte não-alternada. Para n\to\infty temos 1/n^{2}\to0 e, usando a expansão \sin x\sim x quando x\to0,
Verificamos que \{b_{n}\} é monotonicamente decrescente para n grande, pois n\mapsto1/n^{2} decresce, \sin x é crescente em [0,1] e a raiz cúbica preserva essa ordem. Logo, a hipótese de monotonicidade do Teste de Leibniz está satisfeita.
Passo 4
Pelo Teste de Leibniz para séries alternadas, como
Como vimos b_{n}\sim n^{-2/3}, com p=2/3<1, a série \sum n^{-2/3} diverge (série p com p\le1). Pelo Critério da Comparação Limite ou do p-teste, \sum b_{n} também diverge.
Resposta
A série converge condicionalmente.
Critérios usados: Teste de Leibniz (convergência alternada) e teste de série p (divergência da parte absoluta).