QUESTÃO 4 (2,0 Pontos). Considere uma transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}. Obtenha T(x, y, z), sabendo que T(2,0,0)=(2,4), T(1,1,0)=(-4,1) e T(1,1,1)=(0,0).

Passo 1

O enunciado pede a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} cuja ação em três vetores está dada e queremos achar a fórmula de T(x,y,z). O conteúdo envolvido é representação matricial de transformação linear e resolução de sistema linear para encontrar os coeficientes.

Passo 2

Uma transformação linear de \mathbb{R}^{3} em \mathbb{R}^{2} pode ser escrita como
T(x,y,z) = \bigl(a\,x + b\,y + c\,z,\;d\,x + e\,y + f\,z\bigr),
onde a,b,c,d,e,f são constantes a determinar. Cada condição dada gera equações lineares nesses coeficientes.

Passo 3

Usando T(2,0,0)=(2,4), temos
2a=2,\quad 2d=4
Logo,
a=1 e d=2.

Passo 4

Usando T(1,1,0)=(-4,1), obtemos
a + b = -4,\quad d + e = 1
Substituindo a=1 e d=2, vem
1 + b = -4 e 2 + e = 1,
portanto
b = -5 e e = -1.

Passo 5

Usando T(1,1,1)=(0,0), segue
a + b + c = 0,\quad d + e + f = 0
Substituindo a=1, b=-5, d=2, e=-1, obtemos
1 + (-5) + c = 0 e 2 + (-1) + f = 0.
Assim,
c = 4 e f = -1.

Resposta

T(x,y,z) = (\,x - 5y + 4z,\;2x - y - z\,).

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