Questão 2. (2,0 pontos) Considere o triângulo \triangle A B C, cujos vértices são
A=(m, 5), \quad B=(3,-4), \quad C=(-5,6),
e seja M e o ponto médio do lado B C. Calcule o valor de m de modo que o comprimento da mediana AM seja 5.

Passo 1

O enunciado dá o triângulo com vértices
A=(m,5),\quad B=(3,-4),\quad C=(-5,6)
e pede o valor de m tal que a mediana AM tenha comprimento igual a 5. Para isso vamos usar a fórmula do ponto médio e a fórmula da distância entre dois pontos.

Passo 2

O ponto médio M de BC é dado por
M=\bigl(\tfrac{x_B+x_C}{2},\,\tfrac{y_B+y_C}{2}\bigr) =\bigl(\tfrac{3+(-5)}{2},\,\tfrac{-4+6}{2}\bigr) =(-1,1).

Passo 3

O comprimento da mediana AM é
AM=\sqrt{(x_A-x_M)^2+(y_A-y_M)^2} =\sqrt{(m-(-1))^2+(5-1)^2} =\sqrt{(m+1)^2+16}.
Impondo AM=5, temos
\sqrt{(m+1)^2+16}=5.

Passo 4

Elevando ao quadrado e resolvendo,
(m+1)^2+16=25 \quad\Longrightarrow\quad (m+1)^2=9 \quad\Longrightarrow\quad m+1=\pm3
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m=2 \quad\text{ou}\quad m=-4.

Resposta

m=2 ou m=-4

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