Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias:
\frac{d y}{d x}=\frac{e{x-y}}{1+e{-x}}, \quad y(0)=\ln 2

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem
\frac{dy}{dx} = \frac{e^{x - y}}{1 + e^{-x}},
com condição inicial y(0) = \ln 2.
Vemos que é separável se escrevermos em termos de e^y, pois fica mais simples integrar.

Passo 2

Definimos z = e^y. Então
\frac{dz}{dx} = e^y \frac{dy}{dx} = z\cdot\frac{e^{x - y}}{1 + e^{-x}} = \frac{e^x}{1 + e^{-x}}.
Agora temos a EDO
\frac{dz}{dx} = \frac{e^x}{1 + e^{-x}}
que depende só de x.

Passo 3

Integramos em ambos os lados em relação a x. O cálculo de
\int \frac{e^x}{1 + e^{-x}}\,dx
pode ser feito substituindo u = e^{-x} ou lembrando que
\frac{e^x}{1 + e^{-x}} = \frac{1}{1 + e^{-x}}.
O resultado é
\int \frac{e^x}{1 + e^{-x}}\,dx = x + \ln\bigl(1 + e^{-x}\bigr) + C.
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z(x) = x + \ln\bigl(1 + e^{-x}\bigr) + C.

Passo 4

Usamos a condição inicial y(0)=\ln 2, isto é z(0)=e^{y(0)}=2.
Em x=0:
2 = z(0) = 0 + \ln\bigl(1 + e^{0\cdot(-1)}\bigr) + C = \ln 2 + C,
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C = 2 - \ln 2.

Passo 5

Substituindo C em z(x) e voltando a y:
e^y = z(x) = x + \ln\bigl(1 + e^{-x}\bigr) + 2 - \ln 2.
Tomando logaritmo,
y(x) = \ln\!\Bigl(x + \ln\bigl(1 + e^{-x}\bigr) + 2 - \ln 2\Bigr).

Resposta

\boxed{y(x) = \ln\!\Bigl(x + \ln\bigl(1 + e^{-x}\bigr) + 2 - \ln 2\Bigr).}

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