Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias:
\frac{d y}{d x}=\frac{e{x-y}}{1+e{-x}}, \quad y(0)=\ln 2
\frac{d y}{d x}=\frac{e{x-y}}{1+e{-x}}, \quad y(0)=\ln 2
Passo 1
O enunciado dá a EDO de primeira ordem
com condição inicial
.
Vemos que é separável se escrevermos em termos de , pois fica mais simples integrar.
Vemos que é separável se escrevermos em termos de
Passo 2
Definimos
. Então
Agora temos a EDO
que depende só de
.
Passo 3
Integramos em ambos os lados em relação a
. O cálculo de
pode ser feito substituindo
ou lembrando que
O resultado é
Logo
Passo 4
Usamos a condição inicial
, isto é
.
Em :
Em
logo
Passo 5
Substituindo
em
e voltando a
:
Tomando logaritmo,