Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias:
x^{2} y^{\prime}+\left(3 x-2 x^{2}\right) y=x^{5} e^{2 x}, \quad x>0
x^{2} y^{\prime}+\left(3 x-2 x^{2}\right) y=x^{5} e^{2 x}, \quad x>0
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem
que é uma equação linear no formato
. Vamos dividir por
, identificar
e
, calcular o fator integrante, integrar e, por fim, isolar
.
Passo 2
Dividindo a equação por
(que é permitido pois
), obtemos a forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
Aqui identificamos
e
.
e
Passo 3
O fator integrante
é dado por
Passo 4
Multiplicando a EDO por
, o lado esquerdo torna-se a derivada de
:
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
Passo 5
Para encontrar
, isolamos:
Resposta
onde
é a constante arbitrária de integração.