Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias:
x^{2} y^{\prime}+\left(3 x-2 x^{2}\right) y=x^{5} e^{2 x}, \quad x>0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem
x^{2}y' + \bigl(3x - 2x^{2}\bigr)y = x^{5}e^{2x},\quad x>0,
que é uma equação linear no formato y' + P(x)\,y = Q(x). Vamos dividir por x^{2}, identificar P(x) e Q(x), calcular o fator integrante, integrar e, por fim, isolar y.

Passo 2

Dividindo a equação por x^{2} (que é permitido pois x>0), obtemos a forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
y' + \Bigl(\frac{3}{x}-2\Bigr)\,y = x^{3}e^{2x}.
Aqui identificamos
P(x)=\tfrac{3}{x}-2
e
Q(x)=x^{3}e^{2x}.

Passo 3

O fator integrante \mu(x) é dado por
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\!\Bigl(\int(\tfrac{3}{x}-2)\,dx\Bigr) = \exp\bigl(3\ln x -2x\bigr) = x^{3}e^{-2x}.

Passo 4

Multiplicando a EDO por \mu(x)=x^{3}e^{-2x}, o lado esquerdo torna-se a derivada de \mu(x)\,y:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}e^{-2x}y\bigr) = x^{3}e^{-2x}\bigl(y' + (\tfrac{3}{x}-2)y\bigr) = x^{6}.
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
x^{3}e^{-2x}y = \int x^{6}\,dx = \frac{x^{7}}{7} + C.

Passo 5

Para encontrar y, isolamos:
y = \biggl(\frac{x^{7}}{7}+C\biggr)\frac{e^{2x}}{x^{3}} = \frac{x^{4}e^{2x}}{7} \;+\; C\,x^{-3}e^{2x}.

Resposta

y(x) = \frac{x^{4}e^{2x}}{7} + C\,x^{-3}e^{2x},
onde C é a constante arbitrária de integração.

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