Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o Método de Eliminação de Gauss. Classifique o sistema como Possível Determinado (SPD), Possível Indeterminado (SPI) ou Impossível (SI), após escalonar a matriz.
& l x+y+z=3 2 x+3 y+z=7 x+2 y+3 z=8 & l x+y+z=6 2 x+2 y+2 z=12 x+y+2 z=7 & l x+2 y+z=4 2 x+4 y+2 z=8 3 x+6 y+3 z=9

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem três sistemas lineares pra resolver com o Método de Eliminação de Gauss. Isso é parte de Álgebra Linear. O que vamos precisar:
  • Montar a matriz aumentada de cada sistema.
  • Usar operações elementares de linha (adicionar múltiplos de uma linha a outra) pra chegar na forma escalonada.
  • A partir daí, identificar se o sistema é Possível e Determinado (SPD), Possível e Indeterminado (SPI) ou Impossível (SI).

Passo 2

Sistema 1:
x + y + z = 3, 2x + 3y + z = 7, x + 2y + 3z = 8
Matriz aumentada:
[ccc|c 1 & 1 & 1 & 3 2 & 3 & 1 & 7 1 & 2 & 3 & 8 ]
  1. Eliminação na coluna 1:
    R2 R2 - 2R1, R3 R3 - R1
[ccc|c 1 & 1 & 1 & 3 0 & 1 & -1 & 1 0 & 1 & 2 & 5 ]
  1. Eliminação na coluna 2:
    R3 R3 - R2
[ccc|c 1 & 1 & 1 & 3 0 & 1 & -1 & 1 0 & 0 & 3 & 4 ]
Agora a gente faz substituição pra trás:
  • Da terceira linha: 3z = 4 implies z = tfrac43.
  • Da segunda: y - z = 1 implies y = 1 + tfrac43 = tfrac73.
  • Da primeira: x + y + z = 3 implies x = 3 - tfrac73 - tfrac43 = -tfrac23.
Classificação: SPD (única solução).

Passo 3

Sistema 2:
x + y + z = 6, 2x + 2y + 2z = 12, x + y + 2z = 7
Matriz aumentada:
[ccc|c 1 & 1 & 1 & 6 2 & 2 & 2 & 12 1 & 1 & 2 & 7 ]
  1. R2 R2 - 2R1, R3 R3 - R1
[ccc|c 1 & 1 & 1 & 6 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 ]
A segunda linha virou 0=0 (sem informação) e a terceira diz z=1.
Da primeira linha: x + y + 1 = 6 implies x + y = 5.
Aqui a gente tem 1 equação para 2 incógnitas, ou seja, infinitas soluções.
Parametrizando: deixe x = t, então y = 5 - t, e z = 1.
Classificação: SPI (infinitas soluções).

Passo 4

Sistema 3:
x + 2y + z = 4, 2x + 4y + 2z = 8, 3x + 6y + 3z = 9
Matriz aumentada:
[ccc|c 1 & 2 & 1 & 4 2 & 4 & 2 & 8 3 & 6 & 3 & 9 ]
  1. R2 R2 - 2R1, R3 R3 - 3R1
[ccc|c 1 & 2 & 1 & 4 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & -3 ]
A terceira linha virou 0x+0y+0z = -3, que é uma contradição ( 0 = -3).
Classificação: SI (sem solução).

Resposta

Sistema 1 (SPD): solução única
(x,y,z) = l(-tfrac23,,tfrac73,,tfrac43r)
Sistema 2 (SPI): infinitas soluções, por exemplo
l(x,y,zr) = l(t,,5 - t,,1r), tinR
Sistema 3 (SI): impossível (nenhuma solução).

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