Resolva as equações diferencias:
y(1+x^3) y^prime+x^2(1+y^2)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y,(1+x^3),dydx+x^2,(1+y^2)=0
que é uma equação de variáveis separáveis. Vamos reescrevê-la de modo a isolar os termos em y num lado e os termos em x no outro.

Passo 2

Reescrevendo a equação temos
y,(1+x^3),dydx=-x^2,(1+y^2)
Dividindo ambos os lados por (1+y^2)(1+x^3) e passando dx para o lado direito, obtemos
y1+y^2,dy = -x^21+x^3,dx

Passo 3

Agora integramos cada lado separadamente. Do lado esquerdo:
integral y1+y^2,dy =12lnl(1+y^2r)
Do lado direito, fazemos t=1+x^3 de modo que dt=3x^2dx, logo
integral -x^21+x^3,dx =-13integral dtt =-13lnl(1+x^3r)
Incluímos uma constante de integração C.

Passo 4

Igualando as integrais temos
12lnl(1+y^2r) =-13lnl(1+x^3r)+C
Multiplicando tudo por 6 vem
3lnl(1+y^2r) =-2lnl(1+x^3r)+6C
e, ao expoenciar,
l(1+y^2r)^3 =K,(1+x^3)^-2,
onde K=e^6C é uma constante arbitrária.

Resposta

Uma forma implícita da solução geral é
(1+y^2)^3(1+x^3)^2=C,
com C constante de integração.

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