Questão 1 (3,0 pontos)

Dado o problema de valor inicial:
y^prime prime-(x^2-2 x+3) y^prime+3 y=0 y(1)=1, y^prime(1)=2
Determine sua solução pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5:

Passo 1

O enunciado pede a solução, via séries de potências em torno de x=1, da EDO
y'' - l(x^2 - 2x + 3r),y' + 3y = 0,
com condições iniciais
y(1)=1, y'(1)=2
O conteúdo utilizado será o método de séries de potências centradas em x=1, ou seja, escrevemos
y(x)=sumn=0^5 an,(x-1)^n
e determinamos os coeficientes an até n=5.

Passo 2

Definimos z = x-1, de modo que x=1+z. Então
x^2 - 2x + 3 = (1+z)^2 -2(1+z) +3 = 2 + z^2
A EDO torna-se
y'' - (2+z^2),y' + 3y = 0

Passo 3

Escrevemos
y(z)=sumn=0^5 an,z^n, y'(z)=sumn=1^5 n,an,z^n-1, y''(z)=sumn=2^5 n(n-1),an,z^n-2
Substituindo em y'' -2y' - z^2y' +3y=0 e alinhando potências z^k obtém-se a recorrência, para k>=0,
(k+2)(k+1),ak+2;-;2(k+1),ak+1;-;(k-1),ak-1;+;3,ak = 0,
com o termo -(k-1)ak-1 efetivo para k>=1.

Passo 4

As condições iniciais em z=0 dão
a0 = y(1)=1, a1 = y'(1)=2

Passo 5

Aplicando a recorrência para k=0,1,2,3 encontramos:
k=0: (2cdot1)a2 -2cdot1,a1 +3a0=0\
Rightarrow 2a2 -4 +3=0,;a2=tfrac12
k=1: (3cdot2)a3 -2cdot2,a2 +3a1=0\
Rightarrow 6a3 -4cdottfrac12 +6=0,;a3=-tfrac23
k=2: (4cdot3)a4 -2cdot3,a3 -a1 +3a2=0\
Rightarrow 12a4 -6(-tfrac23) -2 +tfrac32=0,;a4=-tfrac724
k=3: (5cdot4)a5 -2cdot4,a4 -2a2 +3a3=0\
Rightarrow 20a5 -8(-tfrac724) -1 -2=0,;a5=tfrac130

Resposta

y(x) = 1 + 2,(x-1) + tfrac12,(x-1)^2 - tfrac23,(x-1)^3 - tfrac724,(x-1)^4 + tfrac130,(x-1)^5

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